Übung 7 (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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== Aufgabe XXX ==
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== Aufgabe 7.1 ==
 
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?
 
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?
  
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[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]
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[[Lösung von Aufgabe 7.1_S (SoSe_12)]]
 
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== Aufgabe XXX ==
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== Aufgabe 7.2 ==
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Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC} </math> und eine Gerade g.<br />
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Behauptung: Wenn g eine Seite von <math>\overline{ABC} </math> schneidet, dann schneidet g genau eine weitere Seite von <math>\overline{ABC} </math>.<br /><br />
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'''a)''' Vergleichen Sie diese Behauptung mit dem Axiom von Pasch. Wo liegt der Unterschied?<br />
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'''b)''' Widerlegen Sie die Behauptung durch eine Skizze.<br />
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[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]
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== Aufgabe XXX ==
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Die grauen Flächen seien Punktmengen (Teilmengen einer Ebene). Welche Figuren sind konvex? Warum (nicht)?<br />
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[[Bild:konvex01.gif|links]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
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[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]
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== Aufgabe XXX ==
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[[Bild:konvex02.gif|links]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
 
[[Bild:konvex02.gif|links]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
 
Student XY argumentiert: "Weil <math>\overline{AB} </math> komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex."<br />
 
Student XY argumentiert: "Weil <math>\overline{AB} </math> komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex."<br />
 
Wo liegt XYs Denkfehler?<br />
 
Wo liegt XYs Denkfehler?<br />
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[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]
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[[Lösung von Aufgabe 7.2_S (SoSe_12)]]
  
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== Aufgabe XXX ==
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== Aufgabe 7.3 ==
 
'''Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.'''<br /><br />
 
'''Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.'''<br /><br />
 
a) Beweisen Sie den Satz.<br />
 
a) Beweisen Sie den Satz.<br />
 
b) Wie lautet die Kontraposition?<br />
 
b) Wie lautet die Kontraposition?<br />
 
c) Wie lautet die Umkehrung? Widerlegen Sie die Umkehrung durch eine Skizze.<br />
 
c) Wie lautet die Umkehrung? Widerlegen Sie die Umkehrung durch eine Skizze.<br />
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[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]
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[[Lösung von Aufgabe 7.3_S (SoSe_12)]]
  
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== Aufgabe XXX ==
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== Aufgabe 7.4 ==
 
Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math><br />
 
Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math><br />
 
("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene '''ohne''' die Gerade, die die Ebene teilt).<br />
 
("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene '''ohne''' die Gerade, die die Ebene teilt).<br />
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<math>\ gQ^{+}  :=  \{P|...\} </math><br />
 
<math>\ gQ^{+}  :=  \{P|...\} </math><br />
 
<math>\ gQ^{-}  :=  \{P|...\}</math> <br />
 
<math>\ gQ^{-}  :=  \{P|...\}</math> <br />
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[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]
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[[Lösung von Aufgabe 7.4_S (SoSe_12)]]
  
  
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== Aufgabe XXX ==
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== Aufgabe 7.5 ==
 
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte A, B und C in einer Ebene E. Außerdem sei eine Gerade g  Teilmenge von E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge.<br />
 
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte A, B und C in einer Ebene E. Außerdem sei eine Gerade g  Teilmenge von E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge.<br />
 
Es gilt folgender Zusammenhang:<br />
 
Es gilt folgender Zusammenhang:<br />
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b) Beweisen Sie den oben genannten Zusammenhang.
 
b) Beweisen Sie den oben genannten Zusammenhang.
  
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== Aufgabe ccc ==
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Unter dem Raum <math>\mathbb{P}</math>versteht man die Menge aller Punkte. Die Punktmenge
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<math>\varepsilon \subset \mathbb{P}</math> sei eine Ebene. Gegeben sei ferner <math>\ Q</math> mit <math>Q \in \mathbb{P} \wedge Q \not \in \varepsilon</math>. Definieren Sie die Begriffe Halbraum <math>\varepsilon Q^+</math> und <math>\varepsilon Q^-</math>.
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[[Lösung von Aufg. ccc]]
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== Aufgabe ccc ==
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Beweisen Sie: Ist O ein beliebiger Punkt einer Geraden g und A ein weiterer (von O verschiedener) Punkt dieser Geraden, so gilt für die Halbgeraden <math>\ OA^{+} </math> und <math>\ OA^{-} </math> :<br />
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a) <math>\ OA^{+}  \cap \ OA^{-} = \{O\} </math>      <br />
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b) <math>\ OA^{+}  \cup \ OA^{-} = g </math>  
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[[Lösung von Aufg. ccc]]
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Aktuelle Version vom 31. Mai 2012, 16:01 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 7.1

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) \ AB^{+} \cap BA^{+} =

b) \ AB^{-} \cap BA^{-} =

c) \ AB geschnitten mit dem Kreis um \ A durch \ B =

d)\ AB \cap BA =


Lösung von Aufgabe 7.1_S (SoSe_12)

Aufgabe 7.2

Konvex02.gif








Student XY argumentiert: "Weil \overline{AB} komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex."
Wo liegt XYs Denkfehler?
Lösung von Aufgabe 7.2_S (SoSe_12)

Aufgabe 7.3

Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

a) Beweisen Sie den Satz.
b) Wie lautet die Kontraposition?
c) Wie lautet die Umkehrung? Widerlegen Sie die Umkehrung durch eine Skizze.
Lösung von Aufgabe 7.3_S (SoSe_12)

Aufgabe 7.4

Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen \ gQ^{+} und \ gQ^{-}
("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene ohne die Gerade, die die Ebene teilt).
Definition (offene Halbebene):

Es sei E eine Ebene, in der die Gerade g und der Punkt Q liegen mögen. Q gehöre nicht zu g. Unter den offenen Teilmengen \ gQ^{+} und \ gQ^{-} bezüglich der Trägergeraden g versteht man die folgenden Teilmengen von E:

\ gQ^{+}  := \{P|...\}
\ gQ^{-}  := \{P|...\}
Lösung von Aufgabe 7.4_S (SoSe_12)


Aufgabe 7.5

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Außerdem sei eine Gerade g Teilmenge von E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge.
Es gilt folgender Zusammenhang:

\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace

a) Fertigen Sie eine Skizze an, aus der der oben genannte Zusammenhang ersichtlich wird.
b) Beweisen Sie den oben genannten Zusammenhang.


Lösung von Aufgabe 7.5_S (SoSe_12)

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