Lösung von Aufgabe 5.6 P (SoSe 22)

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\ \Theta$ ($\ \Theta$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $\ E \setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $\ A,B \in E \setminus g$ gilt: $\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\ \Theta$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\ \Theta$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\ \Theta$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

a) zwei Punkte A und B stehen genau dann in Relation zu einander, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet anschaulich: Gerade g ist eine Bundesstrasse, Strecke AB eine Fahrradstrecke, die bei einem Baum A beginnt an einem Baum B endet. die Bäume A und B stehen dabei jeweils rechts von der Bundesstraße, sodass die Fahrradstrecke die Bundesstrasse zu keinem Zeitpunkt schneiden kann.

b) reflexiv ja: weil die Bundesstrasse Gerade G geschnitten mit sich selbst die Bundesstasse Gerade G ergibt, bzw die Fahrrad-Strecke AB geschnitten mit sich selbst AB ergibt und dadurch beide zu sich selbst in Relation stehen symmetrisch ja, da Bundesstrasse G geschnitten mit Fahrrad-Strecke AB leere Menge ergibt und umgekehrt genauso transitiv ja: Bundesstrasse G geschnitten mit Fahrrad-Strecke Ab ergibt leere Menge, Fahrrad-Strecke AB geschnitten mit Fahhrad-Strecke CD ergibt dann leere Menge, wenn die Bäume C und D jeweils wieder rechts von der Bundesstrasse stehen und zeitgleich parallel verläuft zur Fahrrad-Strecke AB ergibt daraus folgt, dass die Bundesstrasse G geschnitten zur Fahrrad-Strecke CD ebenfalls eine leere Menge ergibt--Kwd077 (Diskussion) 16:44, 16. Mai 2022 (CEST)

sehr schöne Veranschaulichung --Matze2000 (Diskussion) 15:20, 19. Mai 2022 (CEST)