Serie 3 (WS 12 13

Aufgaben zu Sätzen und Beweisen Teil 2

Aufgabe 3.1

Referendarin Lisa muss den Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck mit ihrer 7b behandeln. In die fachlichen Vorbetrachtungen zur entsprechenden Einführungsstunde will sie den Satz auch in der Wenn-Dann-Form aufnehmen. Sie formuliert:

Satz: Wenn ein Dreieck drei Ecken hat, dann haben die Innenwinkel 180°.

(a) Warum ist die obige Formulierung des Innenwinkelsatzes nicht korrekt? (b) Geben Sie eine korrekte Formulierung des Innenwinkelsatzes in der Wenn-Dann_form an.

Lösung von Aufgabe 3.1 WS_12_13

Aufgabe 3.2

Zur Erarbeitung des Satzes hat Lisa eine Geogebra-App erstellt:

Die Schüler generieren durch Ziehen an den Eckpunkten verschiedene Dreiecke und stellen fest, dass die Innenwinkelsumme immer 180° beträgt.
Danach formulieren sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke. Lisa möchte dann mit den Schülern den Satz beweisen. Ihre Schüler sehen das nicht ein, die App wäre ja Beweis genug. Helfen Sie Lisa.

Lösung von Aufgabe 3.2 WS_12_13

Aufgabe 3.3

Mit Ihrer Hilfe hat es Lisa geschafft, die 7b von der Notwendigkeit eines korrekten Beweises des Innenwinkelsatzes zu überzeugen. Für den Beweis selbst wählt sie die bekannte enaktive Variante:

Die Schüler erhalten die Aufgabe eine beliebiges Dreieck zu zeichnen und abschließend auszuschneiden. Dann reißen sie die "Winkel" $\alpha$ und $\beta$ ab. Die abgerissenen Winkel werden abschließend an den Winkel $\gamma$ derart angelegt, dass ein gestreckter Winkel entsteht. Die Innenwinkelsumme des Dreiecks muss also 180° betragen. (s. Flash-App)

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Bei aller Sympatie für die Idee der enaktiven Beweisführung, der Beweis ist nicht korrekt. Warum nicht?

Lösung von Aufgabe 3.3 WS_12_13

Aufgabe 3.4

Wir stellen den enaktiven "Beweis" vom Kopf auf die Füße:

Satz (*): Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Wenn die Winkelpaare $\angle BAC$ und $\angle PCA$ bzw. $\angle ABC$ und $\angle QCB$ jeweils zueinander kongruente Wechselwinkel sind,
dann gehören die Punkte $P, C$ und $Q$ ein und derselben Geraden an.

Führen Sie einen Widerspruchsbeweis für Satz (*).

Hilfe: Es gelten die folgenden Aussagen:

1. Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: Wenn beim Schnitt zweier Geraden $a$ und $b$ durch eine dritte Gerade $c$ kongruente Wechselwinkel entstehen, dann sind $a$ und $b$ zueinander parallel.
2. Euklidisches Parallelenaxiom: (alles in der Ebene) Durch einen Punkt $P$ außerhalb der Geraden $g$ gibt es höchsten eine Parallele zu $g$.