Lösung von Aufgabe 4.2 (SoSe 22)

Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

a) Beweis 1 ist nicht korrekt, da hier als Begründung für die Voraussetzung der Basiswinkelsatz fälschlicherweise herangezogen wird, der eigentlich besagt, dass beide Winkel kongruent zueinander sind, hier müsste die Kontraposition des Basiswinkelsatzes als Begründung herangezogen werden daher ist auch Beweis 2 korrekt, da hier sowohl die Kontraposition des Basiswinkelsatzes als auch seiner Umkehrung benutzt wird und diese dann durch einen direkten Beweis als gültig überprüft und dadurch bewiesen werden --Kwd077 (Diskussion) 15:05, 10. Mai 2022 (CEST) b) indirekter Beweis des Satzes mit Widerspruch:

Widerspruchsbeweis plus Beweis durch Kontraposition:

Voraussetzung: Dreieck ABC mit den Strecken AC < BC < AC Behauptung : Winkel Alpha und Winkel Beta sind nicht kongruent Annahme durch Widerspruch: Winkel Alpha und Winkel Beta sind kongruent Beweisschritte Begründung 1. Alpha = Beta. Annahme 2. Stecke AC und Strecke BC sind gleichlang Umkehrung von 1., Basiswinkelsatz

  das ist schon der Widerspruch zur Voraussetzung, daher ist die Annahme zu verwerfen--Kwd077 (Diskussion) 15:54, 10. Mai 2022 (CEST)

Sehr gut deine Antwort ist richtig :). Bei indirekten Beweisen würde ich am Ende noch dazu schreiben, dass der letzte Punkt einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt. --Matze2000 (Diskussion) 20:38, 15. Mai 2022 (CEST)