Übung Aufgaben 5 (SoSe 22): Unterschied zwischen den Versionen
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a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. <br /> | a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. <br /> | ||
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck.<br /> | b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck.<br /> | ||
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a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br /> | a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br /> | ||
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br /> | b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br /> | ||
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c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:=A\subseteq B</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>.<br /> | c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:=A\subseteq B</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>.<br /> | ||
d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv).<br /> | d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv).<br /> | ||
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== Aufgabe 5.4 == | == Aufgabe 5.4 == | ||
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*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math> | *Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math> | ||
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math> | *Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math> | ||
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==Aufgabe 5.5== | ==Aufgabe 5.5== | ||
Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften:<br /> | Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften:<br /> | ||
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math><br /> | <math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math><br /> | ||
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==Aufgabe 5.6== | ==Aufgabe 5.6== | ||
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b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /> | b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /> | ||
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br /> | Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br /> | ||
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[[Kategorie:Geo_P]] | [[Kategorie:Geo_P]] | ||
Aktuelle Version vom 15. Mai 2022, 20:51 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 5.1
a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert.
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck.
Lösung von Aufgabe 5.1_P (SoSe_22)
Aufgabe 5.2
Satz: Gegeben sei ein Dreieck 
in einer Ebene E und eine Gerade g in dieser Ebene, die keine der drei Punkte A, B und C enthält.
Wenn g die Strecke 
schneidet, so schneidet sie auch entweder die Strecke 
oder die Strecke 
.
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?
Lösung von Aufgabe 5.2_P (SoSe_22)
Aufgabe 5.3
a) Geben Sie die Menge 
aller konvexer Drachenvierecke an.
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge 
.
c) Wir definineren eine Relation 
mit 
. Bestimmen Sie die Relation auf .
d) Untersuchen Sie die Relation auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv).
Lösung von Aufgabe 5.3_P (SoSe_22)
Aufgabe 5.4
Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt?
- Parallelität von Geraden der Ebene
- Kongruenz geometrischer Figuren
- Teilbarkeit in
- Kleinerrelation in
- Größer-Gleich-Relation in
- Ungleichheit in
Lösung von Aufgabe 5.4_P (SoSe_22)
Aufgabe 5.5
Untersuchen Sie folgende Relation S auf ihre Eigenschaften:
Lösung von Aufgabe 5.5_P (SoSe_22)
Aufgabe 5.6
Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation 
( ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge 
(also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige 
gilt: 
.
a) Beschreiben Sie die Relation verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.
Lösung von Aufgabe 5.6_P (SoSe_22)
