Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 5 SoSe 2018

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Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 5.1

Es sei [G, \circ] eine Gruppe mit dem Einselement e. Beweisen Sie:
\forall a \in G: (a^{-1})^{-1}=a.

Aufgabe 5.2

Es sei [G, \circ] eine Gruppe mit dem Einselement e. Beweisen Sie:
\forall a,b \in G: (a \circ b)^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1}.

Aufgabe 5.3

Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1.

Aufgabe 5.4

Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 2.

Aufgabe 5.5

Bestimmen Sie die zu \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} inverse Matrix.

Aufgabe 5.6

Bestimmen Sie die zu \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} inverse Matrix.

Aufgabe 5.7

Erstellen Sie einen Untergruppengraphen der Gruppe der Deckabbildungen des Quadrates.

Aufgabe 5.8

Beweisen Sie: Die Gruppe der durch 2 teilbaren ganzen Zahlen ist eine Untergruppe der Gruppe der ganzen Zahlen.

Aufgabe 5.9

Beweisen Sie: Die Menge der ungeraden ganzen Zahlen ist bezüglich der Addition keine Untergruppe der ganzen Zahlen.

Aufgabe 5.10

Geben Sie zwei Matrizen an, die selbstinvers sind.