Auftrag der Woche 4 (WS 16 17)

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Die Lösung ist korrekt, die Skizze aus didaktischer Sicht suboptimal. Generieren Sie mit Geogebra eine dynamische Applikation, die die korrekte Lösung besser als die obige Skizze unterstützt.




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Inhaltsverzeichnis

Lösung von AlanTu

Wenn man den Haken bei „Spur“ setzt, erscheint nach und nach die Mittelsenkrechte.


Konstruktionsbeschreibung

Gegeben seien zwei Punkte A und B. Gesucht ist M:=\{Q|\overline{AQ}\cong\overline{QB}\}.

Sei r\in\mathbb{R} fest aber beliebig.

  1. Zeichne einen Kreis c_r mit Radius r um A (die Menge der Punkte mit Abstand r von A).
  2. Zeichne einen Kreis d_r mit Radius r um B (die Menge der Punkte mit Abstand r von B).
  3. Bestimme M_r (die Menge der Punkte mit Abstand r sowohl von A als auch von B) folgendermaßen:
    1. Falls kein Schnittpunkt von c und d: Es sei M_r=\{\}.
    2. Falls ein Schnittpunkt von c und d: Nenne den Schnittpunkt Q, es sei M_r=\{Q\}.
    3. Falls zwei Schnittpunkte von c und d: Nenne die beiden Schnittpunkte Q_r^1 und Q_r^2, es sei M_r=\{Q_r^1,Q_r^2\}.

M ergibt sich nun aus der Vereinigung aller M_r für r\in\mathbb{R}, also: M = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{R}}{M_r}

Begründung, warum die Menge genau die Mittelsenkrechte ist

Betrachtet man nun r=\frac{\overline{AB}}{2}: Q ist der Mittelpunkt von A und B, da er den selben Abstand von beiden Punkten hat.

Betrachtet man nun r\in\mathbb{R} \wedge r > \overline{QA}:

  • Das Viereck AQ_r^1BQ_r^2 bildet eine Raute mit Seitenlänge r.
  • Da die Diagonalen der Raute sich sowohl halbieren, als auch senkrecht aufeinander stehen, liegen Q_r^1 und Q_r^2 auf der Mittelsenkrechten von A und B.
  • Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich \overline{QQ_r^1} = \overline{QQ_r^2} = \sqrt{r^2 - \overline{QA}^2} und da f(r)=\sqrt{r^2 - \overline{QA}^2} für r > \overline{QA} genau einen Wertebereich von (0,\infty) besitzt, ergibt die Vereinigung aller M_r genau die Mittelsenkrechte von A und B ohne den Mittelpunkt von A und B.

Nimmt man also beide Fälle zusammen ergibt sich genau die komplette Mittelsenkrechte von A und B.


Lösung von Tutor Alex

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2. Lösung von AlanTu