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| − | [[Übung 13.05.11]]
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| − | [[Punkte, Geraden, Ebenen]]
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| − | <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/MemoryProjekt03.swf" width="1000" height="400" frameborder="2"></iframe>
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| − | [[Pasch]]
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| − | [[HDV]]
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| − | [[Spiegelung_00]]
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| − | == Axiome von Moise/Downs ==
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| − | * Inzidenzaxiome:
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| − | =====Axiom I.0:=====
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| − | :Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
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| − | =====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
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| − | :Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
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| − | =====Axiom I.2:=====
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| − | :Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
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| − | =====Axiom I.3:=====
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| − | :Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
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| − | =====Axiom I.4:=====
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| − | :Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
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| − | =====Axiom I.5:=====
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| − | :Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.
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| − | =====Axiom I.6:=====
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| − | :Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
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| − | =====Axiom I.7:=====
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| − | :Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
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| − | * Abstandsaxiome:
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| − | ===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
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| − | :Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.
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| − | ===== Axiom II.2: =====
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| − | :Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
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| − | ===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
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| − | :Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>
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| − | :Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
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| − | :::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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| − | :::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
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| − | :::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
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| − | :Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
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| − | ===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
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| − | :Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.
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| − | ===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
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| − | :Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.
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| − | ==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
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| − | ::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.
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| − | ==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
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| − | :: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>
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| − | ==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
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| − | ::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
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| − | ==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
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| − | ::Nebenwinkel sind supplementär.
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| − | ==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
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| − | ::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen
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| − | :::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
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| − | :::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
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| − | :::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
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| − | ::gelten,<br />
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| − | ::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.
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| − | ==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
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| − | ::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
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