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== Axiome ==
== Aufgabe 8.1 ==
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In der Vorlesung haben wir die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen gezeigt. Verdeutlichen Sie den Zusammenhang zur Klasseneinteilung der Ebene.
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[[Lösung von Aufgabe 8.1]]
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* Inzidenzaxiome:
  
== Aufgabe 8.2 ==
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=====Axiom I.0:=====
Beweisen Sie: Es gibt rechte Winkel und jeder rechte Winkel hat das Maß 90.
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:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
  
[[Lösung von Aufgabe 8.2]]
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=====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
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:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
  
== Aufgabe 8.3 ==
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=====Axiom I.2:=====
Beweisen Sie:  
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:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
Wenn <math>\alpha </math> und <math>\beta </math> zwei Scheitelwinkel sind, dann haben <math>\alpha </math> und <math>\beta </math> dieselbe Größe.
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[[Lösung von Aufgabe 8.3]]
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=====Axiom I.3:=====
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:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
  
== Aufgabe 8.4 ==
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=====Axiom I.4:=====
Beweisen Sie die Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten.
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:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
  
[[Lösung von Aufgabe 8.4]]
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=====Axiom I.5:=====
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:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.
  
== Aufgabe 8.5 ==
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=====Axiom I.6:=====
Definieren Sie die Begriffe Stufenwinkel und Wechselwinkel (an geschnittenen Geraden).
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:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
  
[[Lösung von Aufgabe 8.5]]
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=====Axiom I.7:=====
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:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
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* Abstandsaxiome:
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===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
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:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.
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===== Axiom II.2: =====
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:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
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===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
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:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>
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:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
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:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
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:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
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:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
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===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
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:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.
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===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
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:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.
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==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
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::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.
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==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
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:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl  <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>
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==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
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::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
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==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
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::Nebenwinkel sind supplementär.
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==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
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::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen
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:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
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:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
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:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
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::gelten,<br />
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::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.
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==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
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::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

Version vom 29. Juli 2010, 16:04 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Axiome

  • Inzidenzaxiome:
Axiom I.0:
Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)
Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
Axiom I.2:
Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
Axiom I.3:
Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I.4:
Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
Axiom I.5:
Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Axiom I.6:
Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
Axiom I.7:
Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
  • Abstandsaxiome:
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
Zu je zwei Punkten \ A und \ B gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl \ d mit d=0:\Longleftrightarrow A=B.
Axiom II.2:
Für zwei beliebige Punkte \ A und \ B gilt \left| AB \right| = \left| BA \right|.
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
Für drei beliebige Punkte \ A, B und \ C gilt: \left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.
Falls \operatorname{koll} \left( ABC \right), dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|
\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|
Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind \ A, \ B und \ C kollinear.
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
Zu jeder nicht negativen reelen Zahl \ d gibt es auf jedem Strahl \ p genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von \ p den Abstand \ d hat.
Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch)
Gegeben sei ein Dreieck \overline{ABC}. Ferner sei \ g eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte \ A, B, C geht. Wenn \ g eine der drei Seiten des Dreiecks \overline{ABC} schneidet, dann schneidet \ g genau eine weitere Seite des Dreiecks \overline{ABC}.

Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel \ \alpha gibt es genau eine reelle Zahl \ \omega zwischen 0 und 180.

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei \ g \equiv SA eine Gerade in der Ebene \ \Epsilon. Zu jeder reellen Zahl \ \omega mit \ 0 < \omega < 180 gibt es in jeder der beiden durch \ g bestimmten Halbebenen der Ebene \ \Epsilon genau einen Strahl \ SB^+ mit \ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt \ P zum Inneren des Winkels \ \angle ASB gehört , dann gilt \ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)

Wenn für zwei Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} die folgenden 3 Kongruenzen
  1. \overline{AB} \cong \overline{DE}
  2. \overline{AC} \cong \overline{DF}
  3. \angle CAB \cong \angle FDE
gelten,
dann sind die beiden Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} kongruent zueinander.

Euklidisches Parallelenaxiom

Zu jedem Punkt \ P außerhalb einer Geraden \ g gibt es höchstens eine Gerade \ h, die durch \ P geht und zu \ g parallel ist.