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Version vom 10. November 2011, 15:49 Uhr

Übung 13.05.11

Punkte, Geraden, Ebenen

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Pasch

HDV

Spiegelung_00

Inhaltsverzeichnis

Axiome von Moise/Downs

  • Inzidenzaxiome:
Axiom I.0:
Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)
Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
Axiom I.2:
Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
Axiom I.3:
Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I.4:
Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
Axiom I.5:
Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Axiom I.6:
Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
Axiom I.7:
Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
  • Abstandsaxiome:
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
Zu je zwei Punkten \ A und \ B gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl \ d mit d=0:\Longleftrightarrow A=B.
Axiom II.2:
Für zwei beliebige Punkte \ A und \ B gilt \left| AB \right| = \left| BA \right|.
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
Für drei beliebige Punkte \ A, B und \ C gilt: \left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.
Falls \operatorname{koll} \left( ABC \right), dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|
\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|
Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind \ A, \ B und \ C kollinear.
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
Zu jeder nicht negativen reelen Zahl \ d gibt es auf jedem Strahl \ p genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von \ p den Abstand \ d hat.
Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch)
Gegeben sei ein Dreieck \overline{ABC}. Ferner sei \ g eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte \ A, B, C geht. Wenn \ g eine der drei Seiten des Dreiecks \overline{ABC} schneidet, dann schneidet \ g genau eine weitere Seite des Dreiecks \overline{ABC}.

Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel \ \alpha gibt es genau eine reelle Zahl \ \omega zwischen 0 und 180.

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei \ g \equiv SA eine Gerade in der Ebene \ \Epsilon. Zu jeder reellen Zahl \ \omega mit \ 0 < \omega < 180 gibt es in jeder der beiden durch \ g bestimmten Halbebenen der Ebene \ \Epsilon genau einen Strahl \ SB^+ mit \ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt \ P zum Inneren des Winkels \ \angle ASB gehört , dann gilt \ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)

Wenn für zwei Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} die folgenden 3 Kongruenzen
  1. \overline{AB} \cong \overline{DE}
  2. \overline{AC} \cong \overline{DF}
  3. \angle CAB \cong \angle FDE
gelten,
dann sind die beiden Dreiecke \overline{ABC} und \overline{DEF} kongruent zueinander.

Euklidisches Parallelenaxiom

Zu jedem Punkt \ P außerhalb einer Geraden \ g gibt es höchstens eine Gerade \ h, die durch \ P geht und zu \ g parallel ist.


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