Beweisidee Aufgabe 4.3.2 S Übung Heckl (SoSe2012)

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Aufgabe 4.3

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

  1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien A, B und C drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn A,B und C nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden .“
  2. Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.

Beweis in zwei Fällen (Reihenfolge der Fälle ist irrelevant) durch Widerspruch:

Fall 1: Annahme: Gelte o. B. d. A. A = B \neq C

A 4 3 F 1 16052012.JPG

Fall 2: Annahme: Gelte A = B = C = A

A 4 3 F 2 16052012.JPG

Kommentar zu Fall 2:
Sinnvollerweise schreiben wir zu 3): \exists P \neq A, ansonsten könnte es ja sein, dass P = A ist;
dann kann nämlich Axiom I.1 nicht angewendet werden - diesen Fall schließen wir somit aus und unser Axiom kann angewendet werden,
weil wir zwei verschiedene Punkte haben! --Flo60 20:33, 16. Mai 2012 (CEST) Einführung: WIKI-Übung-Heckl