Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden))
(→‎Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:)
Zeile 26: Zeile 26:
  
 
[[Category:Einführung_Geometrie]]
 
[[Category:Einführung_Geometrie]]
 +
 +
<math> \ Existenz</math><br>
 +
<math> \ Voraussetzung:\  Sei \ g eine \ Gerade \ und \ P \ ein \ Punkt \ mit \not\in \ g </math><br>
 +
<math> \ Behauptung:\ Es \ existiert \ ein \ Lot \ auf \ g \ durch \ P </math><br>
 +
<math> \ Annahme: \ Sei \ S \ ein \ Punkt \ mit \ S \in \ g </math> <br>
 +
<math> \Rightarrow  \exists_1 \ Q \in \ gP^+ mit |\angle gQ| = 90, nach \ dem \ Winkelkonstruktionsaxiom</math><br>
 +
<math> \ Betrachte \ nun \ die \ eindeutige \ Parallele \ l \ von \ SQ \ durch \ P ,die \ g \ in \ T \ schneidet (n. E.P. und \ dem \ Korallar \ davon)</math><br>
 +
<math>\Rightarrow \angle gP \ ist \ Stufenwinkel \ von \ \angle  gQ\Rightarrow |\angle gP|=90, \ nach \ dem \ Stufenwinkelsatz</math><br>
 +
<math>\Rightarrow \overline{PT} \ ist \ Lot \ auf \ g \ durch \ P</math><br>
 +
 +
<br>
 +
<br>
 +
Die Eindeutigkeit der Parallele hatten wir schon in einer anderen Übung gezeigt, aus ihr folgt die Eindeutigkeit des Lots.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:30, 7. Jul. 2011 (CEST)

Version vom 7. Juli 2011, 13:30 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Der Begriff des Lotes

Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)
Es sei \ P ein Punkt, der nicht zur Geraden \ g gehören möge. ...


Definition:
Es sei \ P ein Punkt, der nicht zur Geraden \ g gehören möge, die Grade durch \ P und \ g, die senkrecht zu g ist heißt Lotgerade. Der Schnittpunkt \ S von \ P und \ g heißt Lotfußpunkt, die Strecke \overline{SP} Lot.--Peterpummel 20:38, 2. Jul. 2011 (CEST)

Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)
Es sei \ P ein Punkt außerhalb von \ g. Der Abstand von \ P zu \ g ist ...


Defintion:
Es sei \ P ein Punkt außerhalb von \ g. Der Abstand von \ P zu \ g ist die Länge des Lots von \ P auf \ g
--Peterpummel 20:40, 2. Jul. 2011 (CEST)



Es sei \ P ein Punkt außerhalb von \ g. Der Abstand von \ P zu \ g ist eine nicht negative reelle Zahl d. --Teufelchen 18:40, 3. Jul. 2011 (CEST)

Existenz und Eindeutigkeit des Lotes

Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
Zu jedem Punkt \ P außerhalb einer Geraden \ g gibt es genau ein Lot von \ P auf \ g.
Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:

Übungsaufgabe

\ Existenz
\ Voraussetzung:\ Sei \ g eine \ Gerade \ und \ P \ ein \ Punkt \ mit \not\in \ g
\ Behauptung:\ Es \ existiert \ ein \ Lot \ auf \ g \ durch \ P
\ Annahme: \ Sei \ S \ ein \ Punkt \ mit \ S \in \ g
\Rightarrow \exists_1 \ Q \in \ gP^+ mit |\angle gQ| = 90, nach \ dem \ Winkelkonstruktionsaxiom
\ Betrachte \ nun \ die \ eindeutige \ Parallele \ l \ von \ SQ \ durch \ P ,die \ g \ in \ T \ schneidet (n. E.P. und \ dem \ Korallar \ davon)
\Rightarrow \angle gP \ ist \ Stufenwinkel \ von \ \angle gQ\Rightarrow |\angle gP|=90, \ nach \ dem \ Stufenwinkelsatz
\Rightarrow \overline{PT} \ ist \ Lot \ auf \ g \ durch \ P



Die Eindeutigkeit der Parallele hatten wir schon in einer anderen Übung gezeigt, aus ihr folgt die Eindeutigkeit des Lots.--Peterpummel 13:30, 7. Jul. 2011 (CEST)

Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Das_Lot_von_einem_Punkt_auf_eine_Gerade_(SoSe_11)&oldid=8050“