Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen

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(Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
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<math> \ Voraussetzung:\  Sei \ g eine \ Gerade \ und \ P \ ein \ Punkt \ mit \not\in \ g </math><br>
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<math> \ Voraussetzung:\  Sei \ g \ eine \ Gerade \ und \ P \ ein \ Punkt \ mit \not\in \ g </math><br>
 
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<math> \ Annahme: \ Sei \ S \ ein \ Punkt \ mit \ S \in \ g </math> <br>
 
<math> \ Annahme: \ Sei \ S \ ein \ Punkt \ mit \ S \in \ g </math> <br>

Version vom 8. Juli 2011, 09:39 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Der Begriff des Lotes

Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)
Es sei \ P ein Punkt, der nicht zur Geraden \ g gehören möge. ...


Definition:
Es sei \ P ein Punkt, der nicht zur Geraden \ g gehören möge, die Grade durch  \ P  und \ g, die senkrecht zu g ist heißt Lotgerade. Der Schnittpunkt \ S von \ P und \ g heißt Lotfußpunkt, die Strecke \overline{SP} Lot.--Peterpummel 20:38, 2. Jul. 2011 (CEST)
Hier wurde geschrieben: Der Schnittpunkt von \operatorname {P} und \operatorname {g}... da P \not\in g vorher in der Def. vorkommt, kann dies garnicht eintreten. --Tutor Andreas 10:33, 8. Jul. 2011 (CEST)

Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)
Es sei \ P ein Punkt außerhalb von \ g. Der Abstand von \ P zu \ g ist ...


Defintion:
Es sei \ P ein Punkt außerhalb von \ g. Der Abstand von \ P zu \ g ist die Länge des Lots von \ P auf \ g
--Peterpummel 20:40, 2. Jul. 2011 (CEST)



Es sei \ P ein Punkt außerhalb von \ g. Der Abstand von \ P zu \ g ist eine nicht negative reelle Zahl d. --Teufelchen 18:40, 3. Jul. 2011 (CEST)

Existenz und Eindeutigkeit des Lotes

Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
Zu jedem Punkt \ P außerhalb einer Geraden \ g gibt es genau ein Lot von \ P auf \ g.
Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:

Übungsaufgabe

 \ Existenz
 \ Voraussetzung:\  Sei \ g \ eine \ Gerade \ und \ P \ ein \ Punkt \ mit \not\in \ g
 \ Behauptung:\ Es \ existiert \ ein \ Lot \ auf \ g \ durch \ P
 \ Annahme: \ Sei \ S \ ein \ Punkt \ mit \ S \in \ g
 \Rightarrow  \exists_1 \ Q \in \ gP^+ mit |\angle gQ| = 90, nach \ dem \ Winkelkonstruktionsaxiom
 \ Betrachte \ nun \ die \ eindeutige \ Parallele \ l \ von \ SQ \ durch \ P ,die \ g \ in \ T \ schneidet (n. E.P. und \ dem \ Korallar \ davon)
\Rightarrow \angle gP \ ist \ Stufenwinkel \ von \ \angle  gQ\Rightarrow |\angle gP|=90, \ nach \ dem \ Stufenwinkelsatz
\Rightarrow \overline{PT} \ ist \ Lot \ auf \ g \ durch \ P



Die Eindeutigkeit der Parallele hatten wir schon in einer anderen Übung gezeigt, aus ihr folgt die Eindeutigkeit des Lots.--Peterpummel 13:30, 7. Jul. 2011 (CEST)
Ich glaube nicht, dass in einer Übung die Eindeutigkeit einer Parallelen gezeigt bzw. bewiesen wurde... vllt. wurde die Existens einer Parallelen gezeigt, aber wenn die Eindeutigkeit bewiesen worden wäre, dann widerspräche das dem Parallelenaxiom.--Tutor Andreas 10:38, 8. Jul. 2011 (CEST)