11

Hier geht es zu den Axiome WS10/11

Hier geht es zu den Sätze WS10/11

Definitionen (1)

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$stellige Relation.

Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$.

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$, wenn

1. notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
2. notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
3. notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $M$.

Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Definitionen (2)

Definitionen I

Definition I/2 (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)

Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)

Definition I/3 (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I/4 (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5 (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6 (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...)

analoge Schreibweise: nkomp(A, B, C, D, ...) für nicht komplanar

Definition I/7 (komplanar für Geraden)==

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8 (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g || h.

Definition I/9 (windschief)

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10 (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definitionen II

Definition II.1 (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.

Schreibweise: $d = \left| AB \right|$.

Definition II.2 (Zwischenrelation)

Ein Punkt $\ B$ liegt zwischen zwei Punkten $\ A$ und $\ C$, wenn $\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ gilt und der Punkt $\ B$ sowohl von $\ A$ als auch von $\ C$ verschieden ist.

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die $\ A$ und $\ B$ sowie alle Punkte, die zwischen $\ A$ und $\ B$ liegen, enthält, heißt Strecke $\overline{AB}$.

• Wieso zwei verschiedene Punkte? Laut meinen Kenntnissen stimmt diese Definition so nicht! --Bulkathos

Definition II.4 (Länge einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Der Abstand $\vert AB \vert$ heißt Länge der Strecke $\overline{AB}$.

Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl)

Halbgerade $AB^+$

$AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}$

Halbgerade $AB^-$

$AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}$

Definitionen III

Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $\ M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $\ A$ und $\ B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.

Definitionen IV

Definition IV.1 (offene Halbebene)

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$, der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene $\ \Epsilon$ ohne die Gerade $\ g$ :

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$ oder $\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}$ oder $\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}$ oder $\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \}$

Definition IV.2 (Halbebene)

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \Epsilon$. $\ gQ^+$ und $\ gQ^-$ seien die beiden offenen Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ mit jeweils dieser Geraden $\ g$ entstehen.

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)

Eine Menge $\ M$ von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ dieser Menge die gesamte Strecke $\overline{AB}$ zu $\ M$ gehört.

Definitionen V

Definition V.1 (Winkel)

Unter einem Winkel $\ \angle pq$ versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. Die beiden Strahlen sind die Schenkel des Winkels $\ \angle pq$. Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen heißt Scheitelpunkt S

Definition V.2 (Inneres eines Winkels)

Unter dem Inneren eines Winkels $\ \angle ASB$ versteht man die Schnittmenge zweier Halbebenen ASB+ und BSA+.

Definition V.3 (Scheitelwinkel)

(a) Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn deren Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.

(b) Die Winkel $\angle SA^+,SB^+$ und $\angle SA^-,SB^-$ sind Scheitelwinkel.

Definition V.4 (Nebenwinkel)

(a) Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemeinsam haben und die beiden anderen Schenkel eine Gerade bilden.

(b) Die Winkel $\angle SA^+,SB^+$ und $\angle SA^-,SB^+$ sind Nebenwinkel.

Definition V.5 (Größe eines Winkels)

Die Zahl $\ \omega$, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $\ \alpha$ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $\ \alpha$ genannt.
In Zeichen: $\omega = \left| \alpha \right|$.

Definition V.6 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.7 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

Es seien $\ g$ und $\ h$ zwei Geraden. Wenn sich $\ g$ und $\ h$ schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden $\ g$ und $\ h$ senkrecht aufeinader.

In Zeichen: $\ g \perp \ h$

Definition V.9 (noch mehr Senkrecht)

1. Eine Gerade $\ g$ und eine Strecke $\overline{AB}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die $\ g$ und die Gerade $\ AB$ senkrecht aufeinander stehen.

2. Eine Strecke $\ \overline{AB}$ und eine Strecke $\ \overline{CD}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade $\ AB$ senkrecht auf der Geraden $\ CD$ steht.

3. Eine Gerade $\ g$ und eine Ebene $\epsilon$ stehen senkrecht aufeinander, wenn es in $\epsilon$ zwei Geraden gibt, die sich schneiden und jeweils senkrecht zu g stehen--Engel82 12:50, 8. Dez. 2010 (UTC)

Defintionen VI

Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)

Es sei $\ m$ eine Gerade und $\overline{AB}$ eine Strecke, die durch $\ m$ im Punkt $\ M$ geschnitten wird. $\ m$ ist die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$, wenn

1. $m \perp AB$
2. $\left| AM \right| = \left| MB \right|$

Definition VI.2 (Winkelhalbierende)

(a) Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.

(b) Es seien $\ p$,$\ w$ und $\ q$ drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt $\ S$. Die Halbgerade $\ w$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $\angle pq$, wenn $\ w$ im Inneren von $\angle pq$ liegt und die beiden Winkel $\angle pw$ und $\angle wq$ dieselbe Größe haben.

Definitionen VII

Definition VII.1 (Streckenkongruenz)

Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.

In Zeichen $\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|$

Definition VII.2 (Winkelkongruenz)

Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.

In Zeichen: $\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |$

Definition VII.3 (Dreieckskongruenz)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 6 Kongruenzen

1. $\overline{AB} \cong \overline{DE}$
2. $\overline{BC} \cong \overline{EF}$
3. $\overline{AC} \cong \overline{DF}$
4. $\angle CAB \cong \angle FDE$
5. $\angle ABC \cong \angle DEF$
6. $\angle ACB \cong \angle DFE$

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Definition VII.4 (gleichschenkliges Dreieck, Schenkel, Basis, Basiswinkel)

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind.

Ein Schenkel ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks.
Die dritte Seite nennt man Basis des gleichschenkligen Dreiecks.
Der Winkel, der die Basis als Teilmenge hat nennt man Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

Definitionen VIII

Definition VIII.1 (Außenwinkel eines Dreiecks) =

Gegeben sei ein Dreieck $\overline {ABC}$. Alle Nebenwinkel der Innenwinkel des Dreiecks $\overline {ABC}$ heißen Außenwinkel des Dreiecks $\overline {ABC}$.

Definitionen IX

Definition IX.1 (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)

Es sei $\ P$ ein Punkt, der nicht zur Geraden $\ g$ gehören möge.

Eine Gerade $\ h$ mit $\ P$ $\ \in h$ und $\ h \perp g$ heißt Lot/Lotgerade vom Punkt $\ P$ auf die Gerade $\ g$ und der Punkt $\ L$ mit {$\ L$} = $\ g \cap h$ heißt Lotfußpunkt des Lotes von $\ P$ auf $\ g$.

Definition IX.2 (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)

Es sei $\ P$ ein Punkt außerhalb von $\ g$.

Der Abstand von $\ P$ zu $\ g$ ist der Abstand der Punkte $\ P$ und $\ L$, wobei L der Lotfußpunkt des Lotes von $\ P$ auf $\ g$ ist.