Diskussion:Lösung von Aufgabe 10.2: Unterschied zwischen den Versionen

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Irgendwie verstehe ich noch nicht so ganz, was du meinst [[Benutzer:Sternchen|Sternchen]]. Dadurch, dass ich auf einer Geraden die beiden Winkel konstruiere, habe ich doch einen Strahl gemeinsam und eine Gerade, die die anderen Schenkel bilden. Somit habe ich doch Def Nebenwinkel schon erfüllt. Und nach Def rechter Winkel, muss sein Nebenwinkel genauso groß sein, wie der Winkel selbst, was sich durch das Maß 90 ergibt. Was wiederum dazu führt, dass die Gerade senkrecht steht. Oder meinst du, dass diese Schritte noch expliziet aufgeführt werden müssten? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:46, 10. Jul. 2010 (UTC)
 
Irgendwie verstehe ich noch nicht so ganz, was du meinst [[Benutzer:Sternchen|Sternchen]]. Dadurch, dass ich auf einer Geraden die beiden Winkel konstruiere, habe ich doch einen Strahl gemeinsam und eine Gerade, die die anderen Schenkel bilden. Somit habe ich doch Def Nebenwinkel schon erfüllt. Und nach Def rechter Winkel, muss sein Nebenwinkel genauso groß sein, wie der Winkel selbst, was sich durch das Maß 90 ergibt. Was wiederum dazu führt, dass die Gerade senkrecht steht. Oder meinst du, dass diese Schritte noch expliziet aufgeführt werden müssten? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:46, 10. Jul. 2010 (UTC)
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Nee, ich glaube nicht, dass ich das meine. Die Schritte sind schon in Ordnung. Du hast eine Gerade und dann konstruierst du einen Strahl dazu, sodass ein Winkel mit der Größe 90 entsteht. Und wenn ein Strahl mit einer Geraden auf der einen Seite einen rechten Winkel bildet, dann ist das auf der anderen Seite auch ein rechter und dann stehen die senkrecht. Das ist ja alles klar. Und natürlich gibt es auch nur diese eine Gerade. Was ich meine, ist eigentlich Haare gespalten. Und wenn du nicht direkt gefragt hättest, würde ich mich nicht trauen, nochmal damit anzukommen. Aber wenn ich ehrlich bin, macht's mir Spaß. ^^<br />
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Ich versuch's nochmal so wie am Anfang. Lies dir doch nochmal genau das [[Wichtige_Begriffe_der_Geometrie_-_Glossar#Axiom_IV.2:_.28Winkelkonstruktionsaxiom.29|Winkelkonstruktionsaxiom]] durch. Stell dir jetzt mal einen Moment lang einen Winkel mit 70° vor. Wir haben unsere "Trägergerade" und dann haben wir in jeder Halbebene genau einen Strahl. Zu jedem dieser Strahlen denken wir uns die dazugehörige Gerade. Das sind dann also ''zwei'' Geraden. (Wir sind noch bei 70°, nicht vergessen!) Das habe ich gemeint, als ich sagte, du könntest die Eindeutigkeit nicht nur mit dem Winkelkonstruktionsaxiom begründen. Da ergeben sich nämlich zwei Geraden!<br />
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... die natürlich in der Aufgabe identisch sind, weil sie ja rechte Winkel bilden, die dann gleichgroß wie ihre Nebenwinkel sind und so weiter. Aber das war eben die Kleinigkeit in der ''Begründung'', an der ich hängen geblieben bin. Ansonsten ist der Beweis einwandfrei und klar geführt.<br />
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--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 18:08, 19. Jul. 2010 (UTC)

Version vom 19. Juli 2010, 19:08 Uhr

Ich habe noch ein Problem mit der Eindeutigkeit. Löwenzahn, du hast ja geschrieben "Da es nach dem Winkelkonstruktionsaxiom genau eine Gerade gibt, ist die Eindeutigkeit bereits gezeigt." Das ist mir noch nachgegangen. Es gibt nach dem Winkelkonstruktionsaxiom genau ein Strahl pro Halbebene. Zu jedem Strahl gehört eine Gerade, demnach gäbe es zwei Geraden. Jetzt versteht mich nicht falsch, es ist mir schon klar, dass es nur eine gibt, aber die Begründung muss m.E. über das Winkelkonstruktionsaxiom hinausgehen. *m.g.* hat ja gesagt man kann da noch einen indirekten Beweis führen, wenn es einem nicht ganz wohl damit ist. Und mir ist tatsächlich nicht ganz wohl damit. Aber ich denke, indirekt oder nicht, es muss über die Definiton von rechten Winkeln gehen, dass sie nämlich kongruent zu ihren Nebenwinkeln sind. Und Nebenwinkel sind's nur dann, wenn die beiden Strahlen eben zu genau einer Gerade gehören.
--Sternchen 22:59, 2. Jul. 2010 (UTC)


Wir haben ja die Strahlen {PB^{+}} \subset g und {PC^{+}} nach dem Winkelkonstruktionsaxiom. Die Winkel die daraus entstehen sind | \angle CPB^{-}| und \angle CPB^{+}| . Die beiden Winkel haben somit einen Strahl {PC^{+}} und eine Gerade PB gemeinsam, die aus den Schenkeln gebildet wird. Somit ist die Definition Nebenwinkel erfüllt.

Und durch die Äquivalenz "Ein Winkel ist genau dann ein rechter Winkel, wenn er die Größe 90 hat", die sich aus Satz V.3 und V.4 (Skript Winkelmessung) ergibt und wir ja durch die Winkelkonstruktion festgelegt haben, dass der Winkel | \angle PB^{+},PC^{+}| das Maß 90 hat, ergibt sich, dass auch sein Nebenwinkel | \angle CPB^{-}| das Maß 90 hat. Somit ist auch die Defintion rechter Winkel erfüllt.

Aber dann hat man doch immernoch nicht gezeigt, dass die Senkrechte eindeutig ist, sondern nur, dass sie im rechten Winkel auf g steht.

Indirekt müsste man Annehmen, dass es noch eine weitere Senkrechte l gibt, die durch den Punkt P geht und senkrecht auf g steht. Was aber gleich ein Widerspruch zum Winkelkonstruktionsaxiom wäre. Oder ein Widerspruch zu Axiom I.2, dass durch zwei Punkte genau eine Gerade geht.
--Löwenzahn 09:23, 3. Jul. 2010 (UTC)


Ich hab lang nichts geschrieben, aber ich merke, dass ich immer noch nicht zufrieden bin. Im ersten Absatz steht

"Die Winkel die daraus entstehen sind | \angle CPB^{-}| und \angle CPB^{+}| . Die beiden Winkel haben somit einen Strahl {PC^{+}} und eine Gerade PB gemeinsam, die aus den Schenkeln gebildet wird."

Genau da liegt meines Erachtens die falsche Begründung. Nur weil die konstruierten Winkel einen Schenkel gemeinsam haben, müssen die beiden anderen Schenkel noch nicht eine Gerade bilden. Das passiert nur, wenn es rechte Winkel sind, die nach Definition genau so groß sind wie ihre Nebenwinkel.
Oder anders gesagt: Wenn du einen Strahl konstruierst, der einen rechten Winkel mit einer der Halbgeraden von g bildet, dann kannst du gern einfach seinen Nebenwinkel betrachten, aber du musst noch argumentieren, dass das nach Definition dann auch ein rechter Winkel sein muss. Sonst schneiden sich die Geraden ja nicht senkrecht. (vgl. Def. senkrecht stehen)
--Sternchen 20:47, 8. Jul. 2010 (UTC)

Irgendwie verstehe ich noch nicht so ganz, was du meinst Sternchen. Dadurch, dass ich auf einer Geraden die beiden Winkel konstruiere, habe ich doch einen Strahl gemeinsam und eine Gerade, die die anderen Schenkel bilden. Somit habe ich doch Def Nebenwinkel schon erfüllt. Und nach Def rechter Winkel, muss sein Nebenwinkel genauso groß sein, wie der Winkel selbst, was sich durch das Maß 90 ergibt. Was wiederum dazu führt, dass die Gerade senkrecht steht. Oder meinst du, dass diese Schritte noch expliziet aufgeführt werden müssten? --Löwenzahn 15:46, 10. Jul. 2010 (UTC)


Nee, ich glaube nicht, dass ich das meine. Die Schritte sind schon in Ordnung. Du hast eine Gerade und dann konstruierst du einen Strahl dazu, sodass ein Winkel mit der Größe 90 entsteht. Und wenn ein Strahl mit einer Geraden auf der einen Seite einen rechten Winkel bildet, dann ist das auf der anderen Seite auch ein rechter und dann stehen die senkrecht. Das ist ja alles klar. Und natürlich gibt es auch nur diese eine Gerade. Was ich meine, ist eigentlich Haare gespalten. Und wenn du nicht direkt gefragt hättest, würde ich mich nicht trauen, nochmal damit anzukommen. Aber wenn ich ehrlich bin, macht's mir Spaß. ^^
Ich versuch's nochmal so wie am Anfang. Lies dir doch nochmal genau das Winkelkonstruktionsaxiom durch. Stell dir jetzt mal einen Moment lang einen Winkel mit 70° vor. Wir haben unsere "Trägergerade" und dann haben wir in jeder Halbebene genau einen Strahl. Zu jedem dieser Strahlen denken wir uns die dazugehörige Gerade. Das sind dann also zwei Geraden. (Wir sind noch bei 70°, nicht vergessen!) Das habe ich gemeint, als ich sagte, du könntest die Eindeutigkeit nicht nur mit dem Winkelkonstruktionsaxiom begründen. Da ergeben sich nämlich zwei Geraden!
... die natürlich in der Aufgabe identisch sind, weil sie ja rechte Winkel bilden, die dann gleichgroß wie ihre Nebenwinkel sind und so weiter. Aber das war eben die Kleinigkeit in der Begründung, an der ich hängen geblieben bin. Ansonsten ist der Beweis einwandfrei und klar geführt.
--Sternchen 18:08, 19. Jul. 2010 (UTC)