Diskussion:Lösung von Aufgabe 6: Unterschied zwischen den Versionen

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::Zu Ihrer Variante 2, [[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]]: Es gibt ja immer noch einen anderen Punkt, für den die Komplanarität nicht gilt, soweit hab ich's verstanden. Aber wenn ichs nicht besser wüsste, müsste ich ja wieder annehmen, dass der wiederum trotzdem kollinear mit <math>\ A</math> und <math>\ C</math> sein könnte. Oder was bringt mir die Fallunterscheidung sonst noch? Ich hab's noch nicht ganz begriffen.--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 17:20, 3. Jun. 2010 (UTC)<br />
 
::Zu Ihrer Variante 2, [[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]]: Es gibt ja immer noch einen anderen Punkt, für den die Komplanarität nicht gilt, soweit hab ich's verstanden. Aber wenn ichs nicht besser wüsste, müsste ich ja wieder annehmen, dass der wiederum trotzdem kollinear mit <math>\ A</math> und <math>\ C</math> sein könnte. Oder was bringt mir die Fallunterscheidung sonst noch? Ich hab's noch nicht ganz begriffen.--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 17:20, 3. Jun. 2010 (UTC)<br />
 
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Versuch eines Beweises, dass gilt: <math>\operatorname{koll}(A,B,C,D) \Rightarrow  \operatorname{komp}(A,B,C,D)</math><br />
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Versuch eines Beweises, dass gilt: <math>\operatorname{koll}(A,B,C) \Rightarrow  \operatorname{komp}(A,B,C,D)</math><br />
 
Das ist ja die Kontraposition zu der Aussage: Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, dann sind je drei davon nicht kollinear.<br />
 
Das ist ja die Kontraposition zu der Aussage: Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, dann sind je drei davon nicht kollinear.<br />
 
1.Fall: <math>\operatorname{koll}(A,B,C,D)</math>
 
1.Fall: <math>\operatorname{koll}(A,B,C,D)</math>

Version vom 7. Juni 2010, 21:23 Uhr

zu 2.
Ich hab unter Schritt (2) vorausgesetzt, dass \operatorname{nkoll}(A,C,D). Ich hab das einfach gemacht, weil ich das Gefühl hatte, dass ich gar nicht weiterkomme bzw. der ganze Beweis keinen Sinn macht, wenn ich nicht das wenigstens voraussetze. Aber ist das überhaupt legitim? --Sternchen 11:13, 21. Mai 2010 (UTC)

Ja, in der Tat müssten Sie beweisen, dass ihre Annahme in Schritt 2 korrekt ist. Prima, dass Sie dies erkannt haben! Versuchen Sie den Beweis, er ist nicht schwer!--Schnirch 16:05, 30. Mai 2010 (UTC)

Es gibt zwei Möglichkeiten, mit dem Problem umzugehen:
Variante 1: man beweist, dass unter der Voraussetzung \operatorname{nKomp} \left( A, B, C, D) \right) je drei der Punkte \ A, B, C, D nicht kollinear sind. Oder man macht
Variante 2: eine Fallunterscheidung
Fall 1: So wie bereits dargestellt : (2.1) \operatorname{nkoll}(A,C,D)
Fall 2: (2.2) \operatorname{koll}(A,C,D)
Im Fall 2 könnte folgendes passieren:
Fall 2.1 : Die drei Punkte \ A, C, D sind paarweise verschieden
Fall 2.2 : Genau zwei der drei Punkte \ A, C, D sind identisch. (o.B.d.A.  A \equiv D),
Fall 2.3 : Alle drei Punkte \ A, C, D sind identisch.
In jedem der drei Fälle hilft Axiom I/7: Es liefert nämlich
Fälle 2.1 und 2.2: einen weiteren Punkt \ E mit \operatorname{nkoll}(A,C,E), danach geht es weiter wie in Fall 1, \ E übernimmt die Rolle von \ D
Fall 2.3 : zwei Punkte E_1 und E_2 mit \operatorname{nkoll}\left( A,E_1,E_2 \right), danach geht es weiter wie in Fall 1,
\ E_1 übernimmt die Rolle von \ C und \ E_2 die von \ D.--*m.g.* 09:34, 2. Jun. 2010 (UTC)


Mir ist einiges klar geworden. Mein Schritt 2 folgt also aus Schritt 1, das ist schonmal prima. Und die Tatsache leuchtet mir jetzt auch ein, aber wie beweisen? Da bin ich noch am Überlegen.
Zu Ihrer Variante 2, *m.g.*: Es gibt ja immer noch einen anderen Punkt, für den die Komplanarität nicht gilt, soweit hab ich's verstanden. Aber wenn ichs nicht besser wüsste, müsste ich ja wieder annehmen, dass der wiederum trotzdem kollinear mit \ A und \ C sein könnte. Oder was bringt mir die Fallunterscheidung sonst noch? Ich hab's noch nicht ganz begriffen.--Sternchen 17:20, 3. Jun. 2010 (UTC)


Versuch eines Beweises, dass gilt: \operatorname{koll}(A,B,C) \Rightarrow  \operatorname{komp}(A,B,C,D)
Das ist ja die Kontraposition zu der Aussage: Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, dann sind je drei davon nicht kollinear.
1.Fall: \operatorname{koll}(A,B,C,D)

Schritt Begründung
1)\operatorname{koll}(A,B,C,D) Voraussetzung
2)Es gibt genau eine Gerade \ g mit A,B,C,D \in g (1)
3)Es gibt eine Ebene \ E mit A,B \in E Satz I/7
4)A,B \in g \land A,B, \in E (2),(3)
5)\operatorname{komp}(A,B,C,D) (4), Axiom I/5

2.Fall: \operatorname{nkoll}(A,B,C,D)

Schritt Begründung
1)\operatorname{koll}(A,B,C) Voraussetzung, Punktauswahl o.B.d.A.
2)\operatorname{nkoll}(A,B,D) Voraussetzung, Punktauswahl o.B.d.A.
3)Es gibt genau eine Ebene \ E mit A,B,D \in E (2), Axiom I/4
4)C \in E (1),(3), Axiom I/5
5)(A,B,C,D) \in E (3),(4)
6)\operatorname{komp}(A,B,C,D) (5)

--Sternchen 20:27, 3. Jun. 2010 (UTC)