Drehungen und Verschiebungen als Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen (2010)

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Inhaltsverzeichnis

Veranschaulichung im dreidimensionalen Raum

Drehung Kopie.jpg

Verschiebung Kopie.jpg

Beide Bilder wurde mit dem freien 3D-Programm POV-Ray (Persistence of Vision Raytracer) generiert.

Für beide Bilder wurden jeweils nur zwei Spiegel und eine Kugel verwendet:

Drehung Verschiebung
Drehung o k.jpg Verschiebung o k.jpg

Arbeitsauftrag:

Generieren Sie entsprechende Bilder mittels ihrer (Handy)Kamera in der Realität und laden Sie diese hier hoch. (Fahrstühle etc. )

Drei Punkte reichen

Satz 7.1:

Eine jede Bewegung ist durch die Angabe von drei nichkollineraen Punkte und deren Bildern bei der entsprechenden bewegung eindeutig bestimmt.

Beweis von Satz 7.1:

Drehungen als Spiegelungen

Geogebra-Applikation: Zusammenhang zwischen Drehungen und Spiegelungen

Satz 7.2

Zu jeder Drehung \ D_{Z, \alpha} existieren zwei Geradenspiegelungen \ S_g und \ S_h mit \ S_h \circ S_g = D_{Z, \alpha}.

Beweis von Satz 7.2:

Gegeben sei die Drehung \ D_{Z, \alpha}.
Ferner seien \overline{ABC} ein Dreieck und \overline{A'B'C'} das Bild von \overline{ABC} bei \ D_{Z, \alpha}.

Zum Nachweis der Existenz von zwei Geradenspiegelungen \ S_g und \ S_h mit \ S_h \circ S_g = D_{Z, \alpha} genügt es zu zeigen, dass zwei Geraden \ g und \ h existieren, für die S_h(S_g(\overline{ABC}))= \overline{A'B'C'} gilt.

Verschiebungen als Spiegelungen