Genau dann wenn, Dann und nur dann, Äquivalenz SoSe 2018

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Beispiel 1: Basiswinkelsatz

Wieder eine Implikation

Formulierung 1

Der Basiswinkelsatz lautet:

Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.

Langsam wissen wir Bescheid: Der Satz ist eine Implikation.
Wir betrachten ein Dreieck \overline{ABC}

Voraussetzung: \overline{ABC} ist gleichschenklig.
Behauptung:Die Basiswinkel in \overline{ABC} sind kongruent zueinander.

Formulierung 2

Wäre der Begriff des gleichschenkligen Dreiecks vorab nicht definiert worden sein, könnten wir den Basiswinkelsatz trotzdem formulieren:
Basiswinkelsatz:

Wenn in einem Dreieck zwei Seiten kongruent zueinander sind, dann sind auch zwei Innenwinkel dieses Dreiecks kongruent zueinander.

gleichschenkliges Dreieck
Für die Formulierung von Voraussetzung und Behauptung beziehen wir uns auf die obige Skizze.
Voraussetzung:a \cong b
Behauptung: \alpha \cong \beta

Formulierung 3 für Schülerinnen und Schüler

Wir beziehen uns wieder auf die Skizze.
Satz: Wenn in dem Dreieck die beiden roten Strecken gleichlang sind, dann sind auch die beiden blauen Winkel gleichgroß.

Voraussetzung: Die beiden roten Seiten sind gleichlang.
Behauptung: Die beiden blauen Winkel sind gleichgroß.

Beweis der Implikation (Schulform)

Schritt 1:

Wir falten das Dreieck so, dass der Punkt A mit dem Punkt B zur Deckung kommt.
Durch diese Faltung erhalten wir den Mittelpunkt der schwarzen Seite c. Wir nennen diesen Punkt M.

gleichschenkliges Dreieck
Schritt 2:

Der Punkt M teilt die Schwarze Seite c in zwei gleichlange Teilstecken, wir kennzeichnen sie gelb.

gleichschenkliges Dreieck Schritt 3:
gleichschnkliges Dreieck

Die gekachelte und das schraffierte Teildreieck sind kongruent zueinander: