Geraden 2012 13

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Der Normalenvektor

Definition des Normalenvektors

Sei g eine Gerade. Ein Vektor  \ \vec{n} \  heisst genau dann Normalenvektor von g, wenn \  \vec{n}\  senkrecht zu der Geraden g steht.

Der Punkt A an dem sich ein Normalenvektor mit der Geraden schneidet, wird auch Aufpunkt genannt.



Skizze eines Normalenvektors

Eigenschaften des Normalenvektors

Sei g eine Gerade mit  \ \ g = \vec{s} + \lambda \cdot \vec{r} \ und  \vec{n} der Normalenvektor auf g , mit  s =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix}, \  r =\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix},\   n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}.

 E1:\ \ \  \vec{n} \cdot \vec{r} = 0

 E2:\ \ \  n =\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix}
 E3: Im Raum gibt es unendlich viele Normalenvektoren zu einer Gerade g und einem Aufpunkt A.


Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben. Sei  \vec{r} ein beliebiger Ortsvektor auf der Geraden g, da der Normalenvektor  \vec{n} senkrecht zu der Geraden  \vec{r} steht, so steht  \vec{n} auch senkrecht zu jedem anderen Vektor  \vec{r}- \vec{a} der Geraden g.






Da die beiden Vektoren  \vec{n} und  \vec{r}-\vec{a} senkrecht zueinander stehen, muss das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null ergeben:

 \vec{n} \cdot \vec{r}-\vec{a} = 0 <br>
\Leftrightarrow  \vec{n} \cdot \vec{r} - \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{0}<br>
\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r}

(geometrische Deutung)

Hesseform

(Otto Hesse, deutscher Mathematiker, von 1811-1874)

Die Punktenormalengleichung

Eine Möglichkeit ist es Geraden mit Hilfe von zwei Vektoren darzustellen. Hierfür wir zum einen ein Stützvektor, zum anderen ein Richtungsvektor benötigt.