Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. November 2010, 10:27 Uhr

Satz 4.1

Jede Geradenspiegelung besitzt genau eine Fixpunktgerade.

Beweis von Satz 4.1

1.Existenz

Es sei g eine Gerade und A, B, C drei voneinander verschiedene Punkte. Weiter möge gelten A, B nicht Є g und C Є g. Zz: Bei Spiegelung an g wird P auf P` abgebildet. Nach Def. Spiegelung wird C auf C` abgebildet und A auf A`. Da P Є g wird P` ebenfalls auf g abgebildet. Sodass gilt: |AP|=|A`P`|, |CP|=|C`P`| und |AC|=|A`C`|. Bleibt zz: P = P`. Dies folgt unmittelbar aus der Abstandstreue von Bewegungen. Angenommen P` würde nicht mit P zusammenfallen, so gäbe es drei Möglichkeiten. 1. |AP|=|A`P`| aber |CP|≠|C`P`| oder 2. |CP|=|C`P`| aber |AP|≠|A`P`| oder 3. |AP|≠|A`P`| aber |CP|≠|C`P`|. Jede dieser Möglichkeiten währe ein Wiederspruch zur Abstandstreue. Daraus folgt. P = P` Daraus folgt. g ist Fixpunktgerade (demnach gibt es Fixpunktgeraden bei einer Spiegelung)

2.Bei einer Spiegelung gibt es höchstens eine Fixpunktgerade

Es seien zwei Geraden g und h mit A, B Є g und C, D Є h. Im Folgenden betrachten wir die Spiegelung an g. Es gibt drei Fälle: 1. g identisch h: g = h also ein und dieselbe und somit eine Fixpunktgerade. 2. g parallel zu h: nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. |CD| verschieden von |C`D`|. also ist h keine Fixpunktgerade. Bleibt nur g. Also auch hier nur eine Fixpunktgerade. 3. g ∩ h ={P}: P ist Fixpunkt auf g und auf h. (Bew.1.Existenz) Nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. Somit ist kein weiterer Punkt von h Fixpunkt. Also bleibt g wieder einzige Fixpunktgerade.

Satz 4.2

Wenn eine Bewegung genau eine Fixpunktgerade hat, so ist sie die Spiegelung an .

Beweis von Satz 4.2