Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)

Satz 4.1

Jede Geradenspiegelung besitzt genau eine Fixpunktgerade.

1.Existenz

Es sei g eine Gerade und A, B, C drei voneinander verschiedene Punkte. Weiter möge gelten A, B nicht Є g und C Є g. Zz: Bei Spiegelung an g wird P auf P` abgebildet. Nach Def. Spiegelung wird C auf C` abgebildet und A auf A`. Da P Є g wird P` ebenfalls auf g abgebildet. Sodass gilt: |AP|=|A`P`|, |CP|=|C`P`| und |AC|=|A`C`|. Bleibt zz: P = P`. Dies folgt unmittelbar aus der Abstandstreue von Bewegungen. Angenommen P` würde nicht mit P zusammenfallen, so gäbe es drei Möglichkeiten. 1. |AP|=|A`P`| aber |CP|≠|C`P`| oder 2. |CP|=|C`P`| aber |AP|≠|A`P`| oder 3. |AP|≠|A`P`| aber |CP|≠|C`P`|. Jede dieser Möglichkeiten währe ein Wiederspruch zur Abstandstreue. Daraus folgt. P = P` Daraus folgt. g ist Fixpunktgerade (demnach gibt es Fixpunktgeraden bei einer Spiegelung)

Satz 4.2

Wenn eine Bewegung $\ \phi$ genau eine Fixpunktgerade $\ g$ hat, so ist sie die Spiegelung an $\ g$.