Größenbereiche: Unterschied zwischen den Versionen

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Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken.
 
Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken.
Was bedeutet Addition zweier Längen <math>a</math> und <math>b</math>?
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Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> auswählen.
 
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<math>a</math> enthält alle Strecken
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=Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen=
 
=Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen=

Version vom 17. November 2011, 13:58 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

Masse

Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die träge Masse.

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man schwere Masse.

Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.

Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:

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Letztlich definieren wir auf der Menge \mathbb{K} aller Körper eine Relation gleich schwer: \forall K_i, K_j \in \mathbb{K}: K_i gleich schwer K_j := K_i und K_jhalten sich auf der Waage das Gleichgewicht.

Gewicht

Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt. Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.

Längen

Flächeninhalte

Volumina

Geld/Preise

Größen als Äquivalenzklassen

Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:

Z.B.ist die Relation gleichschwer auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:

  1. Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
  2. Wenn K_1 gleichschwer K_2 dann ist auch K_2 gleichschwer K_3
  3. Wenn K_1 gleichschwer K_2 und K_2 gleichschwer K_3 dann K_1 gleichschwer K_3

Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.

Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:


  1. Repräsentantenebene
  2. KLassenebene
  3. Maßzahl ggf. mit Maßeinheit

Vergleichen von Größen

Größen lassen sich vergleichen:

Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.

Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind

  1. irreflexiv
  2. asymmetrisch
  3. transitiv

Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich

  1. reflexiv (\forall a \in A: aRa, wobei A eine beliebige Menge sei),
  2. antisymmetrisch (\forall a,b \in A: aRb \wedge bRa \Rightarrow  a = b)und
  3. transitiv (\forall a,b,c \in A: aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc)

oder gehe ich fehl? --Flo60 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)

Verschiedene Autoren definieren die Begriffe Halbordnung, Ordnung etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --*m.g.* 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)

Addition von Größen

Beispiel Addition zweier Längen:

Es seien a und b zwei Strecken. \overline{a} und \overline{b} seien die Äquivalenzklassen von a bzw. b bezüglich der Relation gleichlang auf der Menge aller Strecken. Wir addieren \overline{a} und \overline{b} indem wir einen Repräsentanten \overline{AB} \in \overline{a} und einen Repräsentanten \overline{BC} \in \overline{b} derart auswählen, dass \operatorname{Zwischen}(A,B,C) auswählen.

Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen

Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.

Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird):

Kommensurabilität geldwerte.JPG
Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats \sqrt{2} - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet.
--Flo60 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)

Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche

Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:

Es sei \mathbb{G} eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung \oplus und eine Ordnungsrelation < definiert sind. Die Struktur (\mathbb{G}, \oplus, <) wird Größenbereich genannt, wenn für alle a, b, c \in \mathbb{G} gilt:
  1. \oplus ist assoziativ auf \mathbb{G}: a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c
  2. \oplus ist kommutativ auf \mathbb{G}: a \oplus b = b \oplus a
  3. Für die Relation < gilt die Trichotomie: Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle: a<b, b<a, a=b
  4. Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung \oplus und der Ordnungsrelation < gilt das Lösbarkeitsgesetz: a<b \Leftrightarrow \exists z \in \mathbb{G}: a \oplus z = b