Version vom 13. Juli 2018, 15:47 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Eindeutigkeit des Einslementes
- 1.1 Satz 3
- 1.2 Beweis von Satz 3
2 Eindeutigkeit der inversen Elemente
- 2.1 Satz 4
- 2.2 Beweis von Satz 4
3 Kürzbarkeit
- 3.1 Satz 5
- 3.2 Beweis von Satz 5
4 Lösbarkeit der Gleichungen
- 4.1 Satz 6
- 4.2 Beweis von Satz 6
  - 4.2.1 Existenzbeweis
  - 4.2.2 Eindeutigkeitsbeweis
5 Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine Gruppe
- 5.1 Satz 7
- 5.2 Beweis von Satz 7
6 Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition

Eindeutigkeit des Einslementes

Satz 3

Jede Gruppe hat genau ein Einslement.

Beweis von Satz 3

Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat $[G, \odot]$ eine Einslement $e_1$ . Es bleibt zu zeigen, dass $[G, \odot]$ kein weiteres Einslement $e_2$ hat. Wir nehmen an es gibt $e_2$ mit $e_2 \neq e_1$ . Nach Satz 2 sind $e_1$ und $e_2$ von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung $e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2$ . Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente $e_1$ und $e_2$ (und das sowohl von rechts, wie auch von links) $e_1=e_2$ .

Eindeutigkeit der inversen Elemente

Satz 4

In jeder Gruppe $[G, \odot]$ gilt: Jedes Gruppenelement $g \in G$ hat genau ein inverses Element.

Beweis von Satz 4

Es sei $g \in G$ eine Gruppe mit dem Einslement $e$ . Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat $g$ in $G$ ein Inverses $g_1^{-1}$ bezüglich $\odot$ . Wir nehmen an, $g$ hat in $G$ ein weiteres Inverses $g_2^{-1}$ , das natürlich von $g_1^{-1}$ verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass $g_1^{-1}$ und $g_2^{-1}$ von links und von rechts invers zu $g$ bzgl. $\odot$ sind.

Die triviale Gleichung $(I) e=e$ "pumpen" wir zu $(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2^{-1}$ auf.

$(II)$ multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit $g_1^{-1}$ und erhalten $(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2^{-1}$ .

$(III)$ verkürzt sich zu $g_1^{-1}=g_2^{-1}$ , was ein Widerspruch zu unserer Annahme $g_1^{-1} \neq g_2^{-1}$ ist.

Kürzbarkeit

Satz 5

Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. Für alle Elemente $a, b, c \in G$ gilt:

$a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c$
$b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c$

Beweis von Satz 5

Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit $a^{-1}$ multiplizieren.

Lösbarkeit der Gleichungen

Satz 6

In jeder Gruppe $[G, \odot]$ sind die Gleichungen

$a \odot x= b$ und
$y \odot a = b$

jeweils eindeutig lösbar.

Beweis von Satz 6

Wir führen den Beweis nur für die Gleichung $a \odot x= b$ , für die Gleichung $y \odot a = b$ wird der Beweis analog geführt.

Existenzbeweis

Zuerst formen wir $a\odot x=b$ um:

$a\odot x=b$ $|\odot a^{-1}$

$a^{-1}\odot a \odot x = a^{-1} \odot b$

$e\odot x = a^{-1} \odot b$

$x = a^{-1} \odot b$

$x=a^{-1}\odot b$ setzen wir nun in $a\odot x=b$ ein und formen um: $a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b$ .

Eindeutigkeitsbeweis

Es seien $x_1$ und $x_2$ Lösungen der Gleichung $a \odot x= b$ . Damit folgt $a \odot x_1 = a \odot x_2$ . Nach Satz 5 gilt $x_1=x_2$

Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine Gruppe

Satz 7

Es sei $[M, \odot]$ ein Monoid. $e$ sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen

$a \odot x = b$ und
$y \odot a = b$

in $[M, \odot ]$ lösbar sind, dann ist das Monoid sogar eine Gruppe.

Beweis von Satz 7

Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element $a \in M$ ein Inverses in $M$ existiert. Wegen der Lösbarkeit der Gleichungen 1 und 2 sind auch die Gleichungen

$a \odot x = e$ und
$y \odot a = e$

lösbar.

Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition

Die Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen

$a \odot x = b$ und
$y \odot a = b$

lösbar sind.

@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 Wir führen den Beweis nur für die Gleichung <math>a \odot x= b</math>, für die Gleichung <math>y \odot a = b</math> wird der Beweis analog geführt.<br />
 ===Existenzbeweis===
-Wir setzen <math>x=a^{-1}\odot b</math>: <math>a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b</math>.
+Zuerst formen wir <math>a\odot x=b</math> um:
+<math>a\odot x=b</math> <math>|\odot a^{-1}</math>
+<math>a^{-1}\odot a \odot x = a^{-1} \odot b</math>
+<math>e\odot x = a^{-1} \odot b</math>
+<math>x = a^{-1} \odot b</math>
+<math>x=a^{-1}\odot b</math> setzen wir nun in <math>a\odot x=b</math> ein und formen um: <math>a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b</math>.
 ===Eindeutigkeitsbeweis===
 Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math>

Gruppendefinition (Gleichung): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 13. Juli 2018, 15:47 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Eindeutigkeit des Einslementes

Satz 3

Beweis von Satz 3

Eindeutigkeit der inversen Elemente

Satz 4

Beweis von Satz 4

Kürzbarkeit

Satz 5

Beweis von Satz 5

Lösbarkeit der Gleichungen

Satz 6

Beweis von Satz 6

Existenzbeweis

Eindeutigkeitsbeweis

Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine Gruppe

Satz 7

Beweis von Satz 7

Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition

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