Gruppenordnung, Ordnung eines Gruppenelements: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 13. Juli 2018, 19:11 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Ordnung einer Gruppe

Definition (Gruppenordnung)

Es sei [G, \odot] eine Gruppe. Unter der Ordnung |G| von [G, \odot] versteht man die Anzahl der Elemente der Menge G.

Beispiele

  • [\mathbb{Z}_5,\oplus]: |\mathbb{Z}_5|=5
  • [\mathbb{Z}_5,\odot]: |\mathbb{Z}_5|=4
  • [\mathbb{Q}, +] : |\mathbb{Q}|= \infty

Potenzschreibweisen in Gruppen

Aus der Schule bekannt

Potenzen sind aus der Schule bezüglich der Multiplikation reeller Zahlen bekannt:

  • 3 ^5 := 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243
  • 5^{-3}:=5^{-1} \cdot 5^{-1} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}= \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}=0,008
  • a^n := \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}, , a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}
  • a^{-n}:=\underbrace{a^{-1} \cdot a^{-1} \cdot \ldots \cdot a^{-1}}_{n-mal}= \frac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}}, a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}

Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen

Beispiele

Beispiel 1: [\mathbb{Z}_5 , \oplus]

  • \overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}
  • \overline{2}^{-3}=\overline{3}^3=\overline{3} \oplus \overline{3} \oplus \overline{3} = \overline{3+3+3} = \overline{9} = \overline{4}

Definition Potenz g^z eines Gruppenelements für z \in \mathbb{Z}, z \geq 0

Es sei [G, \oplus] eine Gruppe mit dem Neutralelement n. Für beliebige Elemente g \in G und ganze Zahlen z \geq 0 definieren wir:

  1. g^z:=n ~falls~ z=0
  2. g^z:=g^{z-1}\oplus g ~ falls ~ z > 0

Definition Potenz g^z eines Gruppenelements für z \in \mathbb{Z}, z < 0

Es sei [G, \oplus] eine Gruppe und z \in \mathbb{Z}, z <0. Ferner sei g eine beliebiges Gruppenelement und g^{-1} sein Inverses in [G, \oplus].

  1. g^z:=g^{-1} ~falls~ z=-1
  2. g^z:=g^{z+1}\oplus g^{-1} ~ falls ~ z < -1

Die Ordnung eines Gruppenelements

Definition (Ordnung eines Gruppenelements)

Es sei [G,\odot ] eine Gruppe.

Die Ordnung eines Elements g\isin G ist die kleinste natürliche Zahl n für die gilt:

g^{n}=e

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