Halbebenen oder das Axiom von Pasch: Unterschied zwischen den Versionen

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| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math> an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig:<br/> 1: es muss sichergestellt sein, dass <math> P </math> Element der Geraden <math> AQ </math> ist und <br/> 2: der Punkt <math> A </math> selbst muss noch berücksichtigt werden:<br/>
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<math>\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\} </math>
 
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math>
 
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math>
  
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|  <math>\ AQ^{-} = \{P| Zw(P,A,Q)\}\cup \{A\}</math>
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|  <math>\ gQ^{-} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math>
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|  <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math>
  
 
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[[Bild:Dozenten.jpg]]
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--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)
<br />BITTE NOCHMAL ÜBERPRÜFEN --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 11:31, 22. Jun. 2010 (UTC)
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Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.
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Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)
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Zu gQ+:
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Wenn hier von der geschlossenen Halbebene die Rede ist, fehlen alle Punkte die auf der Trägergeraden liegen und auch dazu gehören...
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Zu gQ-:
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Ausformuliert steht hier: gQ- ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass es KEINEN Schnittpunkt von g und der Strecke PQ (mit Dächle) gibt..
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Wenn ich es richtig verstanden habe ist das natürlich quatsch. Voraussetzung ist, dass sie einen Schnittpunkt haben, sonst lägen sie ja in derselben HE wie Q!
  
=== Bemerkungen zu den Analogieüberlegungen --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:18, 17. Jun. 2010 (UTC)===
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--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:42, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Wird in beiden Fällen wirklich eine Gerade in Klassen eingeteilt? Erhalten wir eine Halbebene dadurch, dass wir eine Gerade in Klassen einteilen? CHECK
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# Dimension: Gemeint ist, welche Dimension das Objekt hat, welches in Klassen bzw. Teilmengen eingeteilt wird. Ein räumliches Objekt, wie etwa ein Würfel hat die Dimension drei, ein Quadrat liegt vollständig in einer Ebene und ist deshalb ein zweidimensionales Objekt. Eine Strecke liegt auf einer Geraden und ist deshalb ein eindimensionales geometrisches Objekt. Wir haben es bei unseren beiden Begriffen ''Halbgerade'' und ''Halbebene'' einmal mit einem 1D- und einmal mit einem 2D-Begriff zu tun. Den Begriff der Dimension verwenden wir hier intuitiv, ohne ihn definiert zu haben. CHECK
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# Halbgerade: Eine Gerade wird in zwei Halbgeraden eingeteilt. Was für ein Objekt bewirkt diese Einteilung? Eine Halbgerade oder nicht doch eher ein Punkt, der Anfangspunkt der beiden Halbgeraden? Eine Ebene läßt ich auf unendlich viele Arten in genau zwei Halbenen zerlegen. Was für ein Objekt ist verantwortlich dafür, dass wir eine Einteilung in zwei spezielle Halbebenen bekommen? Was ist das Analogon zum Anfangspunkt zweier entgegengesetzter Strahlen bezüglich der Einteilung einer Ebene in zwei Halbebene, deren Vereinigungsmenge wieder die Ausgangebene ergibt? CHECK
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# Die Definitionen zu den beiden Halbgeraden <math>\ AQ^+</math> und <math>\ AQ^-</math> sind korrekt. Die Analogie zum problem der Halbebenen wird aber besser verdeutlich, wenn man diese Definitionen anders formuliert und sich dabei explizit auf die Strecke <math>\overline{BQ}</math> bezieht. Die Idee, Halbgeraden über die Strecke <math>\overline{PQ}</math> zu definieren lag der Übungsaufgabe 7.4 [[Lösung_von_Aufgabe_7.4]] zugrunde. Die Definition habe ich zu Beginn meiner Vorlesung vom 11.06. erläutert.<br />Meinen sie wirklich BQ oder PQ, wenn PQ, dann CHECK
+
# Die Definition der Halbebenen ist prinzipiell richtig. Nach stillschweigender Konvention kennzeichnen wir jedoch Punkte durch große lateinische Buchstaben. Also nicht <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists s \,\{s\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> sondern <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> CHECK
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=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
 
=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
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Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.
 
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.
  
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was es denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.
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Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.
  
 
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
 
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math>  gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
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:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math>  gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :
  
 
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
 
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
  
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
 
  
Ich bin mir nicht sicher ob ich hiermit richtig liege, aber ist bei gQ- nach dieser Definition nicht auch die Punktmenge der Geraden g mit dabei, denn wenn P auf g liegen würde, gäbe es auch eine Schnittpunkt S, mit S=P oder? gQ- wäre also die Definition einer geschlossenen Halbebene..
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::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math>
 
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--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:31, 21. Jun. 2010 (UTC)
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Hhm - Gute Frage =)
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Ich denke, wir haben schon von vornherein per Definition ausgeschlossen, dass P ein Element von g ist, sondern in einer Ebene entweder mit Q oder in der anderen von Q liegt... Vlt sollten wir in der Definition IV.1 das ergänzen, dass Q UND P in der Ebene E liegen, aber nicht zur Geraden g gehören!??
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Erst bei der (geschlossenen) Halbebene wird die Menge aller Punkte von g  mit gQ+ oder gQ- vereint.
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Bei der offenen Halbebene gibt es dann keine Vereinigung, sondern nur den einen Schnittpunkt mit g, um zu zeigen, dass es eine andere Ebene ist, nämlich gQ- (also g ohne den Punkt Q)...
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--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:11, 21. Jun. 2010 (UTC)
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<br />[[Bild:Dozenten.jpg]]
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<br />
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*m.g.*, können Sie uns Helfen und das klären ;-)
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Ich glaub "P nicht Element g" muss einfach mit in die Definition rein, hab aber keine Ahnung wie das geht...
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--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:22, 21. Jun. 2010 (UTC)
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==== Halbebenen ====
 
==== Halbebenen ====
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===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
 
===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
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::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich  <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von  <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.
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::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup  \{g\}</math>
 
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup  \{g\}</math>
  
 
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
 
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
  
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:30, 21. Jun. 2010 (UTC)
 
  
HI, schau mal, ich hab das abgeändert, aber kann man das so stehen lassen!?
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Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
also einfach nur g in der Lösungsmenge!? Oder muss das irgendwie mit {P Element von g} oder wie wäre das formal korrekt?--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 22:04, 21. Jun. 2010 (UTC)
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--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)
  
Das müsste so OK sein, die Halbebene gQ+ ist ja die Vereingung genau dieser zwei Punktmengen...
 
Danke :)
 
<br />[[Bild:Dozenten.jpg]]
 
 
== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==
 
== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==
 
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===
 
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===
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Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.
 
Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.
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Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)
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Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!?
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[[Bild:Beweis Satz IV.1]]
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--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)
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Ich hab ein Problem mit der Voraussetzung: Wenn ich nur sage <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>, dann kann <math>\ Q_2</math> doch immer noch ein Punkt auf g sein, oder sprechen wir von offenen Halbebenen?
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Wenn nicht könnte also <math>\ Q_2</math> auf g liegen. Der "Referenzpunkt" einer Halbebene darf aber nicht auf der Trägergeraden liegen und so könnte <math>\ Q_2</math> kein "Referenzpunkt" sein...
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Hat vielleicht jemand eine Ahnung???
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--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:31, 20. Jul. 2010 (UTC)
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<br /><br />Ja, mir ist auch aufgefallen, dass es da ein bisschen durcheinander geht. <br />Ich würde mal behaupten, dass es bei dem oberen Beweisschema (Fall 1) unter '''Schritt 2''' (Voraussetzung, siehe Argument von Principella), '''Schritt 4''' (denn P kann ja auch auf g liegen, dann hat die geschlossene Strecke mit g eben doch einen Schnittpunkt) und in der Begründung von '''Schritt 8''' (auf einmal ist von disjunkten <u>offenen</u> Halbebenen die Rede, dabei wurde in Schritt 1 die Halbebene als geschlossen definiert) zu Problemen kommt. <br />Mein Vorschlag: Ich würde im gesamten Beweis mit offenen Halbebenen arbeiten. g gehört ja entweder zu beiden oder zu keiner der Halbebenen, hat also für deren Unterscheidung keine Relevanz.<br />--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 07:16, 21. Jul. 2010 (UTC)
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Ich find du hast Recht, der Beweis sollte nur mit offenen Halbebenen geführt werden, denn nur so hat das mit de Repräsentanten überhaupt einen Sinn = Repräsentanten sind nur Repräsentanten einer offenen Halbebene, denn wenn sie Repräsentant beider Halbebenen sein könnten (im Fall der geschlossenen Halbebenen) wäre das Ganze ja sowieso quatsch...
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--[[Benutzer:Principella|Principella]] 11:08, 21. Jul. 2010 (UTC)
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Außerdem sprechen wir bei Referenzpunkten einer Halbebene von Repräsentanten einer Äquivalenzklasse und wie wir gelernt haben, müssen die drei Kriterien einer Klasseneiteilung erfüllt sein, d.h. die Teilmengen müssen auch disjunkt sein, was bei geschlossenen Halbebenen nicht gegeben ist.
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Ich zitiere: "Ein Beispiel für eine Klasseneinteilung
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Die übliche morgendliche Hektik an der „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule: Frau Schulze-Mackenroth zog es für heute vor, ihr Burnout-Syndrom mit Tannenzäpfle und Ouzo zu pflegen, weshalb sie sich kurz vor knapp bei Rektor Pollenwein telefonisch krank gemeldet hat. In ihrer Grundschulklasse geht es derweilen drunter und drüber. Xulio-Dävid hat seine überforderte, allein erziehende Mutter ausgetrickst und das Methylphenidat nicht genommen. Jetzt lässt er seine ADHS hemmungslos an seinen Klassenkameraden aus.
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Zu Hause bei Lehrer Steiner gab es ein weiteres mal Stress wegen der jungen blonden Referendarin, die Steiner betreut. Er flüchtet deshalb und kommt eine Stunde früher. Erleichtert sieht ihn Rektor Gendarm beim Anmarsch auf die Schule. Aus dem Rektoratsfenster ruft er Steiner zu: „Du musst ganz schnell in die Klasse von Xulio-Dävid. Es brennt mal wieder!“
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Damit ist eindeutig geklärt, in welche Klasse Herr Steiner gehen muss. Rein formal hätte Rektor Gendarm natürlich auch die Namen von anderen Schülern nennen können, die mit Xulio-Dävid in dieselbe Klasse gehen. An der klassischen Grund- und Hauptschule geht jeder Schüler in genau eine Klasse. Ihre Klassen sind ein Beispiel dafür, was der Mathematiker unter einer Klasseneinteilung versteht."
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Das Ganze ist analog zur Unabhängigkeit des Referenzpunktes zweier OFFENER HALBEBENEN zu sehen...
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--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:32, 24. Jul. 2010 (UTC)
  
 
== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch  Pasch] ==
 
== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch  Pasch] ==
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zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.
 
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.
  
...
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[[Lösung von Aufgabe 7.5]]

Aktuelle Version vom 24. Juli 2010, 21:32 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Halbebenen und das Axiom von Pasch

Halbebenen

Analogiebetrachtungen

Halbgeraden
Halbebenen
Objekt \ G, das in Klassen eingeteilt wird
\ G ist eine Gerade \ G ist eine Ebene
Dimension von \ G
eindimensional zweidimensional
Objekt \ T, das \ G in Klassen einteilt
Anfangspunkt \ A Trägergerade \ g
Dimension von \ T
nulldimensional eindimensional
Referenzpunkt \ Q teilt \ G \setminus_{\{ Q \}} in genau zwei Klassen
Klasse 1:
Menge aller Punkte \ P\mathrm{\in }G , die mit \ Q bezüglich \ T „auf derselben Seite liegen“
\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig:
1: es muss sichergestellt sein, dass  P Element der Geraden  AQ ist und
2: der Punkt  A selbst muss noch berücksichtigt werden:

\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\}

\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}
Klasse 2:
Menge aller Punkte P\mathrm{\in }G, die bezüglich \ T nicht auf der Seite von \ Qliegen.
\ AQ^{-} = \{P| A  \in \overline{PQ} \} \ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}

--*m.g.* 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)

Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.

Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --*m.g.* 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)

Zu gQ+: Wenn hier von der geschlossenen Halbebene die Rede ist, fehlen alle Punkte die auf der Trägergeraden liegen und auch dazu gehören...

Zu gQ-: Ausformuliert steht hier: gQ- ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass es KEINEN Schnittpunkt von g und der Strecke PQ (mit Dächle) gibt.. Wenn ich es richtig verstanden habe ist das natürlich quatsch. Voraussetzung ist, dass sie einen Schnittpunkt haben, sonst lägen sie ja in derselben HE wie Q!

--Principella 21:42, 20. Jul. 2010 (UTC)

Definition des Begriffs der Halbebene

Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen

Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene \Epsilon gehört u.a., dass jede Gerade \ g, die zu unserer jeweiligen Ebene \Epsilon gehört, diese in zwei Hälften bzw. zwei Seiten einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden Seiten von \Epsilon bezüglich der Geraden \ g verwenden wir einen Punkt \ Q \in \Epsilon, welcher nicht zu \ g gehören sollte. Halbebene 00.png
Zu der einen Hälfte von \ \Epsilon bezüglich \ g gehören alle die Punkte aus \Epsilon \setminus g, die mit \ Q auf derselben Seite von \ g liegen. Alle anderen Punkte aus \Epsilon \setminus g gehören zur anderen Seite von \ \Epsilon bezüglich \ g. Halbebene 01.png

Offene Halbebenen

Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene \ \Epsilon, die nicht auf einer Geraden \ g dieser Ebene liegen, durch diese Gerade \ g eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von \ \Epsilon bezüglich der Trägergeraden \ g. Der nicht zu \ g gehörende Referenzpunkt \ Q \in \Epsilon bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich \ g mit \ Q auf derselben Seite liegen, wird mit \ gQ^{+} bezeichnet, die andere offene Halbebene von \ \Epsilon bezüglich \ g und \ Q mit \ gQ^{-}.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte \ P und  \ Q einer Ebene \ \Epsilon auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden \ g liegen.

Definition IV.1: (offene Halbebene)
Es sei \ \Epsilon eine Ebene in der die Gerade \ g liegen möge. Ferner sei \ Q ein Punkt der Ebene \ \Epsilon, der nicht zur Geraden \ g gehört.
Unter den offenen Halbebenen \ gQ^{+} und \ gQ^{-} bezüglich der Trägergeraden \ g versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene \ \Epsilon ohne die Gerade \ g :
\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}


\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}

Halbebenen

Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

Definition IV.2: (Halbebene)
Es sei \ g eine Gerade der Ebene \ \Epsilon. \ gQ^+ und \ gQ^- seien die beiden offenen Halbebenen von \ \Epsilon bezüglich \ g. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von \ \Epsilon bezüglich \ g versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von \ \Epsilon bezüglich der Geraden \ g mit jeweils dieser Geraden \ g entstehen.
\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup  \{g\}
\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}


Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: \ g Q^+, (geschlossene) Halbebene: \ g Q^+. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass \ g Q^+ bzw. \ g Q^- immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. --*m.g.* 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen

Repräsentantenunabhängigkeit?

Satz IV.1
Wenn \ Q_2 ein Punkt der Halbebene \ {gQ_1}^{+} ist, dann gilt \ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+} und \ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}.
Beweis des Satzes IV.1
Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite)

Voraussetzung: Q_2 \in {gQ_1}^{+}
Behauptung: {gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+} und {gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}
Fallunterscheidung:
Fall I \ Q_1, Q_2 und \ P sind nicht kollinear.
Fall II \ Q_1, Q_2 und \ P sind kollinear.

Fall I \ Q_1, Q_2 und \ P sind nicht kollinear.
Schritt Aussage Begründung
(1) {gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup  \{g\}
Die Strecke \overline {PQ_1} schneidet nicht die Trägergerade g.
Definition von Halbebene
(2) Q_2 \in {gQ_1}^{+}
Q_2 liegt in der Halbebene {gQ_1}^{+}
Voraussetzung
(3) P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+} Schritt (1) und (2)
(4) Da \overline {PQ_1} (Def. der Halbebene {gQ_1}^{+}) und \overline {Q_1Q_2} (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit g haben, kann auch \overline {PQ_2} als dritte Seite des Dreiecks \overline {PQ_1Q_2}keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).


Die Strecke \overline {PQ_2} schneidet nicht die Trägergerade g.

Schritt (3) und Satz von Pasch
(5) {gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup  \{g\} Schritt (4)
(6) Es gilt: {gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup  \{g\} und


{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup  \{g\}|| Voraussetzung und Schritt (5)

(7) {gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+} Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)
(8) {gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-} Die Mengen {gQ_1}^{+} und {gQ_1}^{-}sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen {gQ_2}^{+} und {gQ_2}^{-}
Schritt (7) - Durch Umformung:


Ebene\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g
Ebene\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g
Da Ebene\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g gilt somit auch {gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}


Fall II \ Q_1, Q_2 und \ P sind kollinear, liegen auf der Geraden \ h.
Schritt Aussage Begründung
(1) {gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup  \{g\}
Die Strecke \overline {PQ_1} schneidet nicht die Trägergerade g.
Definition von Halbebene
(2) Q_2 \in {gQ_1}^{+}
Q_2 liegt in der Halbebene {gQ_1}^{+}, dadurch gilt: die Strecke \overline {Q_1Q_2} schneidet nicht die Trägergerade g.
Voraussetzung und Definition von Halbebene
(3) Wenn  \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) und \ Q_1, Q_2, P paarweise verschieden sind, dann gilt


 \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) oder
 \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) oder
 \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) .|| Aus Voraussetzung kollinear und Satz II.3

(4) Wenn  \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) , dann ist \overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1} und dadurch gilt \overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+} Zwischenrelation, Voraussetzung
(5) Wenn  \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) , dann ist \overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2} und dadurch gilt \overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+} Zwischenrelation, Voraussetzung
(6) Wenn  \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right), dann gehören alle Punkte der Strecke \overline {PQ_2} entweder zur Strecke \overline {Q_1Q_2} oder zur Strecke \overline {PQ_1}, für die gilt \overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+} oder \overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}


Dadurch gilt \overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}

Zwischenrelation, Aussagenlogik
(7) Trivial, bzw. analog zu Fall I

Stimmt das so? Nochmal geändert... --Heinzvaneugen 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dozenten.jpg

Analog dazu: Übungsaufgabe 8.1. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass R \notin {gQ}^{+} . Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.

Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --TimoRR 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC) Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!? Beweis Satz IV.1 --TimoRR 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)

Ich hab ein Problem mit der Voraussetzung: Wenn ich nur sage Q_2 \in {gQ_1}^{+} , dann kann \ Q_2 doch immer noch ein Punkt auf g sein, oder sprechen wir von offenen Halbebenen? Wenn nicht könnte also \ Q_2 auf g liegen. Der "Referenzpunkt" einer Halbebene darf aber nicht auf der Trägergeraden liegen und so könnte \ Q_2 kein "Referenzpunkt" sein... Hat vielleicht jemand eine Ahnung??? --Principella 22:31, 20. Jul. 2010 (UTC)

Ja, mir ist auch aufgefallen, dass es da ein bisschen durcheinander geht.
Ich würde mal behaupten, dass es bei dem oberen Beweisschema (Fall 1) unter Schritt 2 (Voraussetzung, siehe Argument von Principella), Schritt 4 (denn P kann ja auch auf g liegen, dann hat die geschlossene Strecke mit g eben doch einen Schnittpunkt) und in der Begründung von Schritt 8 (auf einmal ist von disjunkten offenen Halbebenen die Rede, dabei wurde in Schritt 1 die Halbebene als geschlossen definiert) zu Problemen kommt.
Mein Vorschlag: Ich würde im gesamten Beweis mit offenen Halbebenen arbeiten. g gehört ja entweder zu beiden oder zu keiner der Halbebenen, hat also für deren Unterscheidung keine Relevanz.
--Barbarossa 07:16, 21. Jul. 2010 (UTC)

Ich find du hast Recht, der Beweis sollte nur mit offenen Halbebenen geführt werden, denn nur so hat das mit de Repräsentanten überhaupt einen Sinn = Repräsentanten sind nur Repräsentanten einer offenen Halbebene, denn wenn sie Repräsentant beider Halbebenen sein könnten (im Fall der geschlossenen Halbebenen) wäre das Ganze ja sowieso quatsch... --Principella 11:08, 21. Jul. 2010 (UTC)

Außerdem sprechen wir bei Referenzpunkten einer Halbebene von Repräsentanten einer Äquivalenzklasse und wie wir gelernt haben, müssen die drei Kriterien einer Klasseneiteilung erfüllt sein, d.h. die Teilmengen müssen auch disjunkt sein, was bei geschlossenen Halbebenen nicht gegeben ist.

Ich zitiere: "Ein Beispiel für eine Klasseneinteilung

Die übliche morgendliche Hektik an der „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule: Frau Schulze-Mackenroth zog es für heute vor, ihr Burnout-Syndrom mit Tannenzäpfle und Ouzo zu pflegen, weshalb sie sich kurz vor knapp bei Rektor Pollenwein telefonisch krank gemeldet hat. In ihrer Grundschulklasse geht es derweilen drunter und drüber. Xulio-Dävid hat seine überforderte, allein erziehende Mutter ausgetrickst und das Methylphenidat nicht genommen. Jetzt lässt er seine ADHS hemmungslos an seinen Klassenkameraden aus.

Zu Hause bei Lehrer Steiner gab es ein weiteres mal Stress wegen der jungen blonden Referendarin, die Steiner betreut. Er flüchtet deshalb und kommt eine Stunde früher. Erleichtert sieht ihn Rektor Gendarm beim Anmarsch auf die Schule. Aus dem Rektoratsfenster ruft er Steiner zu: „Du musst ganz schnell in die Klasse von Xulio-Dävid. Es brennt mal wieder!“

Damit ist eindeutig geklärt, in welche Klasse Herr Steiner gehen muss. Rein formal hätte Rektor Gendarm natürlich auch die Namen von anderen Schülern nennen können, die mit Xulio-Dävid in dieselbe Klasse gehen. An der klassischen Grund- und Hauptschule geht jeder Schüler in genau eine Klasse. Ihre Klassen sind ein Beispiel dafür, was der Mathematiker unter einer Klasseneinteilung versteht."

Das Ganze ist analog zur Unabhängigkeit des Referenzpunktes zweier OFFENER HALBEBENEN zu sehen... --Principella 20:32, 24. Jul. 2010 (UTC)

Das Axiom von Pasch

Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Hans Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)

Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
Gegeben sei ein Dreieck \overline{ABC}. Ferner sei \ g eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte \ A, B, C geht. Wenn \ g eine der drei Seiten des Dreiecks \overline{ABC} schneidet, dann schneidet \ g genau eine weitere Seite des Dreiecks \overline{ABC}.

Konvexe Punktmengen

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)
Eine Menge \ M von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten \ A und \ B dieser Menge die gesamte Strecke \overline{AB} zu \ M gehört.
Satz IV.2
Halbebenen sind konvexe Punktmengen
Beweis von Satz IV.2

trivial (Der Leser überzeuge sich davon)

Satz IV.3
Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Beweis von Satz IV.3

Es seien \ M_1 und \ M_2 zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen \ M_1 und \ M_2 ist auch konvex.

Lösung von Aufgabe 7.5