Lösung von Aufg. 10.1

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Es sei \ \Epsilon eine Ebene, die durch die Gerade \ g in die beiden Halbebenen \ gQ^+ und \ gQ^- eingeteilt wird. Ferner sei \ R ein Punkt der Halbebene \ gQ^-, der nicht auf der Trägergeraden \ g liegen möge. Beweisen Sie: \ gR^+ \equiv  gQ^- und \ gR^- \equiv gQ^+

Lösung --Schnirch 13:10, 14. Jul. 2010 (UTC)

Die eigentliche Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt darin, zu erkennen, was denn alles zu zeigen ist um die Aufgabe zu lösen:
Voraussetzung: \ {gQ}^{+} und \ {gQ}^{-}; R \in {gQ}^{-} mit R \not \in g
Behauptung: 1) {gR}^{+} \equiv {gQ}^{-} und 2) {gR}^{-} \equiv {gQ}^{+}, d. h.
zu 1) Wir haben die Identität zweier Halbebenen zu zeigen, d. h. das gilt:
a) \forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+} und b) \forall P\in {gR}^{+} \Rightarrow P\in {gQ}^{-}
sowohl bei a) als auch bei b) müssen wir dann noch jeweils zwei Fälle unterscheiden:
Fall 1: nkoll(P,Q,R)
Fall 2: koll(P,Q,R)

Beweis zu 1a, Fall 1:

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \ P\in {gQ}^{-} nach Vor.
(II) \overline {PQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace nach Definition Halbebene
(III) \ R\in {gQ}^{-} nach Vor.
(IV) \overline {RQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace (III) und Definition Halbebene
(V) \overline {RP} \cap g = \lbrace \rbrace (II), (IV), Axiom v. Pasch
(VI) \ P\in {gR}^{+} (V) und Definition Halbebene

Fall 2, analog zur Lösung in der Probeklausur
1b) analog zur hier vorgestellten Lösung
2) analog zu 1)