Lösung von Aufg. 7.3P (SoSe 20)

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace$

(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt D an, mit $\overline{AD}\cap g\not=\lbrace \rbrace$ und nutzen Sie den Satz von Pasch)

Voraussetzung: $(\overline {AB} \cap g = \emptyset )\wedge (\overline {BC} \cap g = \emptyset )$

Behauptung: $\overline {AC} \cap g = \emptyset$

Annahme: $\overline {AC} \cap g \neq \emptyset$

	Beweisschritt	Begründung
1)	$A \epsilon gA+ \wedge C\epsilon gA-$	Annahme, Satz von Pasch
2)	$A \epsilon gA-$	1), Voraussetzung, Satz von Pasch
3)	$(\overline {AB} \cap g \neq \emptyset)$	1), 2), Satz von Pasch
4)	Widerspruch zur Voraussetzung	3), Voraussetzung