Lösung von Aufg. 7.4: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 16. Dezember 2010, 16:03 Uhr

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Vor: Ebene $\epsilon$
, nkomp(A,B,C,D) Beh: $\epsilon$ enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte

Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene $\epsilon$ $\rightarrow$ trivial

Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene $\epsilon$
$A \in\epsilon$ , $B \in\epsilon$
1) $A \in\epsilon$ , $B \in\epsilon$ , $C \notin\epsilon$ und $D \notin\epsilon$
2) $\operatorname{nkoll} \left( ABC \right)$ $\rightarrow$ $\delta_1$ ________Lemma 3 und Axiom I/4
3) $D \notin\delta_1$ __________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4) $\operatorname{nkoll} \left( BCD \right)$ $\rightarrow$ $\delta_2$ ___________3)
5) $A \notin\delta_2$ ________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6) $A \in\delta_2$ und $B \in\epsilon$ ____________2) und 4)
7) $\exists P$ , $P \in\epsilon$ , $A \in\delta_2$ ________6) und Axiom I/6

bleibt zu zeigen : $A\not\equiv P$ $\delta_1$ : $P \in\delta_1$ , $B \in\delta_1$ , $C \in\delta_1$
$\delta_2$ : $P \in\delta_2$ , $C \in\delta_2$ , $B \in\delta_2$
daraus folgt $\delta_1$ $\equiv$ $\delta_1$ $\rightarrow$ komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)

@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 )<math>\operatorname{nkoll} \left( ABC \right)</math> <math>\rightarrow</math> <math>\delta_1</math> ________Lemma 3 und Axiom I/4<br />
 )<math>D \notin\delta_1 </math>__________________wegen nkomp(A,B,C,D)<br />
-)<math>\operatorname{nkoll} \left( BCD \right)</math> <math>\rightarrow</math> <math>\delta_2</math>___________3)<br />
+)<math>\operatorname{nkoll} \left( BCD \right)</math> <math>\rightarrow</math> <math>\delta_2</math> ___________3)<br />
 )<math>A \notin\delta_2 </math>________________wegen nkomp(A,B,C,D)<br />
 )<math>A \in\delta_2 </math> und <math>B \in\epsilon </math>____________2) und 4)<br />
@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 <u><math>\delta_1</math></u>: <math>P \in\delta_1 </math>, <math>B \in\delta_1 </math>, <math>C \in\delta_1 </math><br />
 <u><math>\delta_2</math></u>: <math>P \in\delta_2 </math>, <math>C \in\delta_2 </math>, <math>B \in\delta_2 </math><br />
-daraus folgt <math> delta_1\equiv delta_2</math> <math>\rightarrow</math> komp(A,B,C,D)<br />
+daraus folgt <math>\delta_1</math>  <math>\equiv </math> <math>\delta_1</math> <math>\rightarrow</math> komp(A,B,C,D)<br />
 ) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)

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