Lösung von Aufg. 7.4: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 16. Dezember 2010, 16:56 Uhr

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Vor: Ebene $\epsilon$ ,nkomp(A,B,C,D)
Beh: $\epsilon$ enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte

Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene $\epsilon$ $\rightarrow$ trivial

Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene $\epsilon$
$A \in\epsilon$ , $B \in\epsilon$
1) $A \in\epsilon$ , $B \in\epsilon$ , $C \notin\epsilon$ und $D \notin\epsilon$
2) $\operatorname{nkoll} \left( ABC \right)$ $\rightarrow$ $\delta_1$ ________Lemma 3 und Axiom I/4
3) $D \notin\delta_1$ __________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4) $\operatorname{nkoll} \left( BCD \right)$ $\rightarrow$ $\delta_2$ ___________3)
5) $A \notin\delta_2$ ________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6) $A \in\delta_2$ und $B \in\epsilon$ ____________2) und 4)
7) $\exists P$ , $P \in\epsilon$ , $A \in\delta_2$ ________6) und Axiom I/6

bleibt zu zeigen : $A\not\equiv P$
$\delta_1$ : $P \in\delta_1$ , $B \in\delta_1$ , $C \in\delta_1$
$\delta_2$ : $P \in\delta_2$ , $C \in\delta_2$ , $B \in\delta_2$
daraus folgt $\delta_1$ $\equiv$ $\delta_1$ $\rightarrow$ komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)

3.Fall:
1) $A \in\epsilon$
2) $A,B,D \in\beta$ __________________Axiom I/4 und Lemma 3
3) $A,C,D \in\gamma$ ________________Axiom I/4 und Lemma 3
4) $beta\not\equiv gamma$ _____________da sonst $A,B,C,D \in\beta$ Widerspruch zur nkomp(A,B,C,D)
5) $A \in\beta$ , $A \in\gamma$ __________2) und 3)
6) $\exists P_1$ , $P_1 \in\epsilon$ , $P_1 \in\beta$

Fall 4:
Keine der vier Punkte ist Element von $\epsilon$
$\epsilon$ enthält einen Punkt________nach Axiom I/4
$\rightarrow$ Fall 3

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 )<math>A \notin\delta_2 </math>________________wegen nkomp(A,B,C,D)<br />
 )<math>A \in\delta_2 </math> und <math>B \in\epsilon </math>____________2) und 4)<br />
-)<math>\exists P</math>,<math>P \in\epsilon </math>,<math>A \in\delta_2 </math>________6) und Axiom I/6
+)<math>\exists P</math> ,<math>P \in\epsilon </math>,<math>A \in\delta_2 </math>________6) und Axiom I/6
 bleibt zu zeigen : <math>A\not\equiv P</math><br />
@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 [[Bild:DSC02860.JPG|500px]]
 <u>3.Fall:</u><br />
-)<math>A \in\epsilon </math>__________________Axiom I/4 und Lemma 3<br />
+)<math>A \in\epsilon </math> <br />
-)<math>ABD \in\beta </math>__________________Axiom I/4 und Lemma 3<br />
+)<math>A,B,D \in\beta </math>__________________Axiom I/4 und Lemma 3<br />
-)<math>ACD \in\gamma </math>________________da sonst A,B,C,D
+)<math>A,C,D \in\gamma </math> ________________Axiom I/4 und Lemma 3<br />
+)<math>beta\not\equiv gamma</math>_____________da sonst<math>A,B,C,D \in\beta </math> Widerspruch zur nkomp(A,B,C,D)<br />
+)<math>A \in\beta </math>, <math>A \in\gamma </math>__________2) und 3)<br />
+)<math>\exists P_1</math>, <math>P_1 \in\epsilon </math>, <math>P_1 \in\beta </math>

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