Lösung von Aufg. 7.4

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Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Vor: Ebene \epsilon
, nkomp(A,B,C,D) Beh: \epsilon enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte

Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene \epsilon\rightarrow trivial


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Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene \epsilon
A \in\epsilon ,B \in\epsilon
1) A \in\epsilon , B \in\epsilon , C \notin\epsilon und D \notin\epsilon
2)\operatorname{nkoll} \left( ABC \right) \rightarrow \delta_1 ________Lemma 3 und Axiom I/4
3)D \notin\delta_1 __________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4)\operatorname{nkoll} \left( BCD \right) \rightarrow \delta_2 ___________3)
5)A \notin\delta_2 ________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6)A \in\delta_2 und B \in\epsilon ____________2) und 4)
7)\exists P,P \in\epsilon ,A \in\delta_2 ________6) und Axiom I/6

bleibt zu zeigen : A\not\equiv P \delta_1: P \in\delta_1 , B \in\delta_1 , C \in\delta_1
\delta_2: P \in\delta_2 , C \in\delta_2 , B \in\delta_2
daraus folgt \delta_1 \equiv \delta_1 \rightarrow komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)






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