Lösung von Aufg. 7.4

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Vor: Ebene $\epsilon$,nkomp(A,B,C,D)
Beh: $\epsilon$ enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte

Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene $\epsilon$$\rightarrow$ trivial

Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene $\epsilon$
$A \in\epsilon$ ,$B \in\epsilon$
1) $A \in\epsilon$ , $B \in\epsilon$, $C \notin\epsilon$ und $D \notin\epsilon$
2)$\operatorname{nkoll} \left( ABC \right)$ $\rightarrow$ $\delta_1$ ________Lemma 3 und Axiom I/4
3)$D \notin\delta_1$__________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4)$\operatorname{nkoll} \left( BCD \right)$ $\rightarrow$ $\delta_2$ ___________3)
5)$A \notin\delta_2$________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6)$A \in\delta_2$ und $B \in\epsilon$____________2) und 4)
7)$\exists P$,$P \in\epsilon$,$A \in\delta_2$________6) und Axiom I/6

bleibt zu zeigen : $A\not\equiv P$
$\delta_1$: $P \in\delta_1$, $B \in\delta_1$, $C \in\delta_1$
$\delta_2$: $P \in\delta_2$, $C \in\delta_2$, $B \in\delta_2$
daraus folgt $\delta_1$ $\equiv$ $\delta_1$ $\rightarrow$ komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)

Fall 4:
Keine der vier Punkte ist Element von $\epsilon$
$\epsilon$ enthält einen Punkt________nach Axiom I/4
$\rightarrow$ Fall 3