Lösung von Aufg. 7.4

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Vor: Ebene \epsilon,nkomp(A,B,C,D)
Beh: \epsilon enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte

Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene \epsilon\rightarrow trivial


DSC02782.JPG

Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene \epsilon
A \in\epsilon ,B \in\epsilon
1) A \in\epsilon , B \in\epsilon , C \notin\epsilon und D \notin\epsilon
2)\operatorname{nkoll} \left( ABC \right) \rightarrow \delta_1 ________Lemma 3 und Axiom I/4
3)D \notin\delta_1 __________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4)\operatorname{nkoll} \left( BCD \right) \rightarrow \delta_2 ___________3)
5)A \notin\delta_2 ________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6)A \in\delta_2 und B \in\epsilon ____________2) und 4)
7)\exists P ,P \in\epsilon ,A \in\delta_2 ________6) und Axiom I/6

bleibt zu zeigen : A\not\equiv P
\delta_1: P \in\delta_1 , B \in\delta_1 , C \in\delta_1
\delta_2: P \in\delta_2 , C \in\delta_2 , B \in\delta_2
daraus folgt \delta_1 \equiv \delta_1 \rightarrow komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)

DSC02856.JPG

DSC02860.JPG


3.Fall:
1)A \in\epsilon
2)A,B,D \in\beta __________________Axiom I/4 und Lemma 3
3)A,C,D \in\gamma ________________Axiom I/4 und Lemma 3
4)\beta\not\equiv \gamma_____________da sonstA,B,C,D \in\beta Widerspruch zur nkomp(A,B,C,D)
5)A \in\beta , A \in\gamma __________2) und 3)
6)\exists P_1, P_1 \in\epsilon , P_1 \in\beta ___________Axiom I/4
7)\exists P_2, P_2 \in\epsilon , P_21 \in\gamma ___________Axiom I/4

zu zeigen: P_1\not\equiv P_2
Annahme: P1 =P2
8) A, D und P_1=P_2 \in\beta
9) A, D und P_1=P_2 \in\gamma
10)\beta= \gamma
11) Widerspruch zu 4)
\rightarrow A,P1,P2 sind drei paarweise verschiedene Punkte in \epsilon

DSC02849.JPG

DSC02848.JPG

Fall 4:
Keine der vier Punkte ist Element von \epsilon
\epsilon enthält einen Punkt________nach Axiom I/4
\rightarrow Fall 3