Lösung von Aufgabe 1.1 (WS 16 17): Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen.<br />
 
Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen.<br />
  
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Kurz gesagt <math>A = B</math>.
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==Beweis==
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Zu beweisen ist, dass gilt: <math>x \text{ ist gerade} \iff x^2 \text{ ist gerade}</math>
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===Teil 1===
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Gezeigt wird <math>x \text{ ist gerade} \Rightarrow x^2 \text{ ist gerade}</math>.
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Zunächst nehmen wir an, dass <math>x = 2 \cdot n \text{für} n \in \mathbb{N}</math>.
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Das heißt, dass <math>x^2 = (2n)\cdot(2n) = 2\cdot(2n^2)</math> gilt. Und da <math>2n^2 \in \mathbb{N}</math>, ist <math>x^2</math> ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2</math> oder anders ausgedrückt gerade.
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===Teil 2===
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Gezeigt wird <math>x \text{ ist gerade} \Leftarrow x^2 \text{ ist gerade}</math>.
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Sei nun <math>x^2 = 2 \cdot n</math> für <math>x, n \in \mathbb{N}</math>.
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Damit gilt: <math>\frac{x \cdot x}{2} = n \iff x \cdot \frac{x}{2} = n</math>.
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Da sowohl <math>x</math> als auch <math>n</math> natürliche Zahlen sind, kann die Gleichung nur wahr sein, wenn <math>\frac{x}{2}</math> auch eine natürliche Zahl ist. <math>\frac{x}{2}</math> wiederum kann nur eine natürliche Zahl sein, wenn <math>x</math> gerade ist.
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q.e.d.
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</popup>--[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 22:55, 20. Okt. 2016 (CEST)
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Hallo AlanTu, <br />
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du solltest lediglich die beiden Mengen bezüglich ihrer Elemente vergleichen,
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aber wenn du uns schon den Beweis lieferst ist das umso erfreulicher ;) Prima! <br />
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Gruß Alex --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 19:37, 27. Okt. 2016 (CEST)
  
  
 
[[Kategorie:Geo_P]]
 
[[Kategorie:Geo_P]]
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[[Kategorie:Lösung zu Übung 1 (Wintersemester 2016/2017)]]

Aktuelle Version vom 27. Oktober 2016, 19:37 Uhr

Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen.

--AlanTu (Diskussion) 22:55, 20. Okt. 2016 (CEST) 
Hallo AlanTu, 

du solltest lediglich die beiden Mengen bezüglich ihrer Elemente vergleichen,
aber wenn du uns schon den Beweis lieferst ist das umso erfreulicher ;) Prima! 

Gruß Alex --Tutor: Alex (Diskussion) 19:37, 27. Okt. 2016 (CEST)
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