Lösung von Aufgabe 1.3 (WS 16 17): Unterschied zwischen den Versionen

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<math>M_3: </math> Menge aller gleichwinkligen Dreiecke<br /><br />
 
<math>M_3: </math> Menge aller gleichwinkligen Dreiecke<br /><br />
  
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<popup name="Lösung von AlanTu">
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<math>M_2 = M_3 \subset M_1</math>
  
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<math>\text{Dreieck ist gleichseitig} \iff \text{Dreieck ist gleichwinklig} \Rightarrow \text{Dreieck ist gleichschenklig}</math>
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===Beweis Dreieck ist gleichwinklig ⇒ Dreieck ist gleichseitig===
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Nach dem Innenwinkelsatz müssen alle drei Innenwinkel addiert <math>180^\circ</math> ergeben. Daraus folgt, dass jeder Winkel in einem gleichwinkligen Dreieck <math>\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ</math> beträgt.
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Nun kann man nachweisen, dass die Seiten gleich lang sind, indem man im Dreieck <math>ABC</math> die Höhe <math>h_c</math> über <math>AB</math> einträgt. Die Strecke zwischen dem Lotfußpunkt und <math>A</math> wird <math>d</math> genannt, die Strecke zwischen Lotfußpunkt und <math>B</math> wird <math>e</math> genannt. Nun gilt <math>tan(60^\circ) = \frac{h_c}{d} = \frac{h_c}{e} \Rightarrow d = e</math>. Dann gilt also auch <math>cos(60^\circ) = \frac{d}{\overline{AC}} \quad\wedge\quad cos(60^\circ) = \frac{e}{\overline{BC}} \iff \frac{1}{2} = \frac{d}{\overline{AC}} \quad\wedge\quad \frac{1}{2} = \frac{e}{\overline{BC}} \iff 2d = \overline{AC} \quad\wedge\quad 2e = \overline{BC} \iff d+e = \overline{AC} \quad\wedge\quad d+e = \overline{BC} \iff \overline{AB} = \overline{AC} \quad\wedge\quad \overline{AB} = \overline{BC}</math>.
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===Beweis Dreieck ist gleichseitig ⇒ Dreieck ist gleichwinklig===
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Man betrachte wieder die Höhe <math>h_c</math> über der Seite <math>AB</math>. Dann gilt in dem Dreieck <math>sin(\alpha) = \frac{h_c}{\overline{AC}} \quad\wedge\quad sin(\beta) = \frac{h_c}{\overline{BC}} \iff sin(\alpha) = \frac{h_c}{\overline{AC}} \quad\wedge\quad sin(\beta) = \frac{h_c}{\overline{AC}} \iff sin(\alpha) = sin(\beta)</math>. Da sowohl <math>\alpha</math> als auch <math>\beta</math> zwischen <math>0^\circ \text{ und } 90^\circ</math> liegen (in einem rechtwinkligen Dreieck sind alle Winkel <math>\leq 90^\circ \text{ und } \geq 0^\circ</math>), kann man daraus schließen, dass <math>\alpha = \beta</math> gilt. Wenn man dieses Vorgehen für alle drei Höhen wiederholt, kann man also zeigen, dass <math>\alpha = \beta = \gamma</math> im gleichseitigen Dreieck gilt.
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===Beweis Dreieck ist gleichseitig ⇒ Dreieck ist gleichschenklig===
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Ein gleichseitiges Dreieck ist per definitionem immer auch gleichschenklig. Ein gleichseitiges Dreieck hat nämlich drei gleich lange Seiten, ein gleichschenkliges erfordert nur zwei.
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===Venn-Diagramm===
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[[Datei:WS1617 Loesung Uebung 1-3.svg|300px|Venn-Diagramm]]
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(Die Schwarzfärbung von Teilmengen bedeutet, dass diese Teilmengen keine Elemente enthalten, also leere Mengen (<math>\emptyset</math>) sind.)
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</popup>--[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 15:24, 21. Okt. 2016 (CEST)
  
 
[[Kategorie:Geo_P]]
 
[[Kategorie:Geo_P]]
 
[[Kategorie:Lösung zu Übung 1 (Wintersemester 2016/2017)]]
 
[[Kategorie:Lösung zu Übung 1 (Wintersemester 2016/2017)]]

Version vom 21. Oktober 2016, 15:24 Uhr

Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen identisch sind und welche Teilmengenbeziehungen bestehen. Stellen Sie die Teilmengenbeziehungen in einem Venn.Diagramm dar.

M_1: Menge aller gleichschenkligen Dreiecke

M_2: Menge aller gleichseitigen Dreiecke

M_3: Menge aller gleichwinkligen Dreiecke

--AlanTu (Diskussion) 15:24, 21. Okt. 2016 (CEST)
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