Lösung von Aufgabe 1.3 (WS 16 17): Unterschied zwischen den Versionen

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<math>M_2:</math> Menge aller gleichseitigen Dreiecke<br /><br />
 
<math>M_2:</math> Menge aller gleichseitigen Dreiecke<br /><br />
 
<math>M_3: </math> Menge aller gleichwinkligen Dreiecke<br /><br />
 
<math>M_3: </math> Menge aller gleichwinkligen Dreiecke<br /><br />
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<popup name="Lösung von AlanTu">
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<math>M_2 = M_3 \subset M_1</math>
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<math>\text{Dreieck ist gleichseitig} \iff \text{Dreieck ist gleichwinklig} \Rightarrow \text{Dreieck ist gleichschenklig}</math>
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===Beweis Dreieck ist gleichwinklig ⇒ Dreieck ist gleichseitig===
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Nach dem Innenwinkelsatz müssen alle drei Innenwinkel addiert <math>180^\circ</math> ergeben. Daraus folgt, dass jeder Winkel in einem gleichwinkligen Dreieck <math>\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ</math> beträgt.
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Nun kann man nachweisen, dass die Seiten gleich lang sind, indem man im Dreieck <math>ABC</math> die Höhe <math>h_c</math> über <math>AB</math> einträgt. Die Strecke zwischen dem Lotfußpunkt und <math>A</math> wird <math>d</math> genannt, die Strecke zwischen Lotfußpunkt und <math>B</math> wird <math>e</math> genannt. Nun gilt <math>tan(60^\circ) = \frac{h_c}{d} = \frac{h_c}{e} \Rightarrow d = e</math>. Dann gilt also auch <math>cos(60^\circ) = \frac{d}{\overline{AC}} \quad\wedge\quad cos(60^\circ) = \frac{e}{\overline{BC}} \iff \frac{1}{2} = \frac{d}{\overline{AC}} \quad\wedge\quad \frac{1}{2} = \frac{e}{\overline{BC}} \iff 2d = \overline{AC} \quad\wedge\quad 2e = \overline{BC} \iff d+e = \overline{AC} \quad\wedge\quad d+e = \overline{BC} \iff \overline{AB} = \overline{AC} \quad\wedge\quad \overline{AB} = \overline{BC}</math>.
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===Beweis Dreieck ist gleichseitig ⇒ Dreieck ist gleichwinklig===
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Man betrachte wieder die Höhe <math>h_c</math> über der Seite <math>AB</math>. Dann gilt in dem Dreieck <math>sin(\alpha) = \frac{h_c}{\overline{AC}} \quad\wedge\quad sin(\beta) = \frac{h_c}{\overline{BC}} \iff sin(\alpha) = \frac{h_c}{\overline{AC}} \quad\wedge\quad sin(\beta) = \frac{h_c}{\overline{AC}} \iff sin(\alpha) = sin(\beta)</math>. Da sowohl <math>\alpha</math> als auch <math>\beta</math> zwischen <math>0^\circ \text{ und } 90^\circ</math> liegen (in einem rechtwinkligen Dreieck sind alle Winkel <math>\leq 90^\circ \text{ und } \geq 0^\circ</math>), kann man daraus schließen, dass <math>\alpha = \beta</math> gilt. Wenn man dieses Vorgehen für alle drei Höhen wiederholt, kann man also zeigen, dass <math>\alpha = \beta = \gamma</math> im gleichseitigen Dreieck gilt.
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===Beweis Dreieck ist gleichseitig ⇒ Dreieck ist gleichschenklig===
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Ein gleichseitiges Dreieck ist per definitionem immer auch gleichschenklig. Ein gleichseitiges Dreieck hat nämlich drei gleich lange Seiten, ein gleichschenkliges erfordert nur zwei.
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===Venn-Diagramm===
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[[Datei:WS1617 Loesung Uebung 1-3.svg|300px|Venn-Diagramm]]
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(Die Schwarzfärbung von Teilmengen bedeutet, dass diese Teilmengen keine Elemente enthalten, also leere Mengen (<math>\emptyset</math>) sind.)
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</popup>--[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 15:24, 21. Okt. 2016 (CEST)
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Hallo AlanTu, <br />
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deine Lösung bezüglich der Beziehungen der Mengen ist richtig und auch die Beweise dazu sind schlüssig, super ;)
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Das Venn-Diagramm ist jedoch nicht ganz richtig.
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Da es sich um eine echte Teilmengenbeziehung zwischen den gleichseitigen/gleichwinkligen Dreiecken und den gleichschenkligen Dreiecken handelt,
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muss der erste Kreis komplett im zweiten eingebettet sein. Da es sich ja um eine Äquivalenz bzgl. den gleichseitigen und gleichwinkligen Dreiecken
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handelt müssen folglich auch beide gezeichnete Kreis gleich sein. <br />
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Gruß Alex --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 19:43, 27. Okt. 2016 (CEST)
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Nachtrag: Ah, ich habe deinen letzten Satz gelesen^^ Nun doof, dass man nicht die kleinen Teilmengen als einzelne Kreise in dem großen darstellen kann.
  
  

Aktuelle Version vom 27. Oktober 2016, 20:08 Uhr

Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen identisch sind und welche Teilmengenbeziehungen bestehen. Stellen Sie die Teilmengenbeziehungen in einem Venn.Diagramm dar.

M_1: Menge aller gleichschenkligen Dreiecke

M_2: Menge aller gleichseitigen Dreiecke

M_3: Menge aller gleichwinkligen Dreiecke

--AlanTu (Diskussion) 15:24, 21. Okt. 2016 (CEST)
Hallo AlanTu, 
deine Lösung bezüglich der Beziehungen der Mengen ist richtig und auch die Beweise dazu sind schlüssig, super ;) Das Venn-Diagramm ist jedoch nicht ganz richtig. Da es sich um eine echte Teilmengenbeziehung zwischen den gleichseitigen/gleichwinkligen Dreiecken und den gleichschenkligen Dreiecken handelt, muss der erste Kreis komplett im zweiten eingebettet sein. Da es sich ja um eine Äquivalenz bzgl. den gleichseitigen und gleichwinkligen Dreiecken handelt müssen folglich auch beide gezeichnete Kreis gleich sein.
Gruß Alex --Tutor: Alex (Diskussion) 19:43, 27. Okt. 2016 (CEST) Nachtrag: Ah, ich habe deinen letzten Satz gelesen^^ Nun doof, dass man nicht die kleinen Teilmengen als einzelne Kreise in dem großen darstellen kann.