Lösung von Aufgabe 1.4 (WS 16 17): Unterschied zwischen den Versionen
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<math>S_2:</math> Menge aller Vierecke mit gleich langen, einander halbierenden Diagonalen<br /><br /> | <math>S_2:</math> Menge aller Vierecke mit gleich langen, einander halbierenden Diagonalen<br /><br /> | ||
<math>S_3: </math> Menge aller Vierecke mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten und einem rechten Winkel<br /><br /> | <math>S_3: </math> Menge aller Vierecke mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten und einem rechten Winkel<br /><br /> | ||
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| + | <math>S_1 = S_2 = S_3 = \text{Menge aller Rechtecke}</math> | ||
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| + | Zu <math>S_1</math>: Laut des [[w:de:Winkelsumme|Innenwinkelsatzes]] für Vierecke beträgt die Summe der Innenwinkel <math>360^\circ</math>, somit hat ein Dreieck mit vier gleich großen Winkeln ([[w:de:Kongruenz (Geometrie)|„kongruent“]] kenne ich nur für geometrische Figuren, bei Winkeln hört sich das für mich komisch an) vier Winkel mit je <math>\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ</math>, ist also ein Rechteck. | ||
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| + | Zu <math>S_2</math>: Vierecke mit gleich langen sich halbierenden Diagonalen werden von den Diagonalen in vier Dreiecke mit den folgenden Eigenschaften aufgeteilt: | ||
| + | * Alle vier Dreiecke sind gleichschenklig, da die Diagonalen und somit auch die Diagonalhälften gleich lang sind. | ||
| + | * Fasst man zwei nebeneinander liegende Dreiecke zu einem großen Dreieck zusammen, ergibt sich die Innenwinkelsumme aus den beiden [[w:de:Basiswinkelsatz|gleich großen Basiswinkeln]] <math>\alpha</math> des einen Dreiecks plus den beiden gleich großen Basiswinkeln des anderen Dreiecks <math>\beta</math> als <math>2 \cdot \alpha + 2 \cdot \beta = 180^\circ \iff \alpha + \beta = 90^\circ</math>. Da ein Winkel des großen Dreiecks sich aus <math>\alpha \text{ und } \beta</math> zusammensetzt, ist das große Dreieck also ein rechtwinkliges Dreieck. Da das für alle Paarungen von nebeneinanderliegenden Dreiecken gilt, sind die vier Innenwinkel des gesamten Vierecks rechtwinklig | ||
| + | * Das Viereck ist also ein Rechteck | ||
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| + | Zu <math>S_3</math>: Da das Viereck zwei Paare paralleler Gegenseiten besitzt, ist es also ein Parallelogramm. Im Parallelogramm [[w:de:Nachbarwinkel|ergänzen sich benachbarte Winkel immer auf <math>180^\circ</math>]], also müssen die benachbarten Winkel eines rechten Winkels ebenfalls rechte Winkel sein. Und der vierte Winkel ist dann wieder ein Nachbarwinkel, beträgt also ebenfalls <math>90^\circ</math>. | ||
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| + | (Diese drei Absätze zeigen nur, dass gilt: <math>S_i \subseteq \{x | x \text{ ist ein Rechteck} \}\text{ für } i \in \{1,2,3\}</math>. Die Umkehrung gilt zwar ebenso, auf den Beweis der Umkehrung verzichte ich an dieser Stelle aber.) | ||
| + | </popup>--[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 19:47, 24. Okt. 2016 (CEST) | ||
[[Kategorie:Geo_P]] | [[Kategorie:Geo_P]] | ||
| + | [[Kategorie:Lösung zu Übung 1 (Wintersemester 2016/2017)]] | ||
Version vom 24. Oktober 2016, 19:47 Uhr
Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen identisch sind und welche Teilmengenbeziehungen bestehen.
Menge aller Vierecke mit vier kongruenten Winkeln
Menge aller Vierecke mit gleich langen, einander halbierenden Diagonalen
Menge aller Vierecke mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten und einem rechten Winkel
: Laut des 
, somit hat ein Dreieck mit vier gleich großen Winkeln (
, ist also ein Rechteck.
: Vierecke mit gleich langen sich halbierenden Diagonalen werden von den Diagonalen in vier Dreiecke mit den folgenden Eigenschaften aufgeteilt:
des einen Dreiecks plus den beiden gleich großen Basiswinkeln des anderen Dreiecks 
als 
. Da ein Winkel des großen Dreiecks sich aus 
zusammensetzt, ist das große Dreieck also ein rechtwinkliges Dreieck. Da das für alle Paarungen von nebeneinanderliegenden Dreiecken gilt, sind die vier Innenwinkel des gesamten Vierecks rechtwinklig
: Da das Viereck zwei Paare paralleler Gegenseiten besitzt, ist es also ein Parallelogramm. Im Parallelogramm 
.
. Die Umkehrung gilt zwar ebenso, auf den Beweis der Umkehrung verzichte ich an dieser Stelle aber.)
