Lösung von Aufgabe 10.2P (WS 18/19)

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Beweisen Sie Satz IX.2:
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden a und b mit einem gemeinsamen Schnittpunkt S, sowie zwei Punkten A\in a und B\in b, die von S jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung S_{a}\circ S_{b} . Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt P''=S_{a}\circ S_{b}(P) gilt: \left| \angle PSP''  \right| =2\cdot\left| \angle ASB  \right|.

Vor: P"= Sa\circSb(P). Beh: |<(PSP)|= 2|<(ASB)|
1.) Sa(P) = P' und Sb(P') = P" - Vor., Verkettung von Geradenspiegelung
2.) |\angle PSA| = |\angle P'SA| - 1.) Winkelmaßerhaltung
3.) |\angle P'SB| = |\angle P''SB| - 1.) Winkelmaßerhaltung
4.) |\angle PSP'| = |\angle PSA|+|\angle ASP'| = 2|\angle PSA| - 2.), Winkeladdition
5.) |\angle P'SP''| = |\angle P'SB|+|\angle BSP''| = 2\angle P''SB| - 3.), Winkeladdition
6.) |\angle PSP''| = |\angle PSP'|+|\angle P'SP''| - Winkeladdition
7.) |\angle PSP''| = 2|\angle PSA|+ 2|\angle P''SB| - 4.), 5.), 6.)
8.) |\angle PSP''| = 2( |\angle ASP'|+|\angle P'SB| ) - 7.), Distributivgesetz
9.) |\angle PSP''| = 2( |\angle ASB| ) - 8.) Winkeladdition
=> |\angle PSP''|= 2|\angle ASB|. Die Behauptung ist damit bewiesen.--CIG UA (Diskussion) 21:35, 20. Dez. 2018 (CET)