Lösung von Aufgabe 10.3: Unterschied zwischen den Versionen
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Jede Stecke hat in jeder Ebenen, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte. | Jede Stecke hat in jeder Ebenen, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte. | ||
| − | Als Voraussetzung ist die Strecke math> \overline{AB}</math>, die Ebene E zu benennen. <br /> | + | Als Voraussetzung ist die Strecke <math> \overline{AB}</math>, die Ebene E zu benennen. <br /> |
| − | Nun ist zu zeigen, dass es in <math>E</math>eine Gerade <math>m</math>gibt, die die Mittelsenkrechte zur Strecke math> \overline{AB}</math> ist. Und, dass es nicht mehr als diese eine gibt.<br /> | + | Nun ist zu zeigen, dass es in <math>E</math> eine Gerade <math>m</math> gibt, die die Mittelsenkrechte zur Strecke <math> \overline{AB}</math> ist. Und, dass es nicht mehr als diese eine gibt.<br /> |
(1) Es gibt ein Punkt <math>Q</math>, der zur Ebene E gehört, aber nicht zur Geraden <math>AB</math>. <br /> | (1) Es gibt ein Punkt <math>Q</math>, der zur Ebene E gehört, aber nicht zur Geraden <math>AB</math>. <br /> | ||
| − | (2) Es existiert genau ein Mittelpunkt <math>M</math> auf der Strecke <math> \overline{AB}</math>, nach Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt. | + | (2) Es existiert genau ein Mittelpunkt <math>M</math> auf der Strecke <math> \overline{AB}</math>, nach Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt.<br /> |
(3) Es existiert ein Punkt <math>P</math>in der Halbebenen <math> AB,Q^{+} </math> und somit ein genau ein Strahl <math> MP^{+} </math>. Der Winkel <math> \angle PMB </math> hat das Maß 90, nach Winkelkonstruktionsaxiom.<br /> | (3) Es existiert ein Punkt <math>P</math>in der Halbebenen <math> AB,Q^{+} </math> und somit ein genau ein Strahl <math> MP^{+} </math>. Der Winkel <math> \angle PMB </math> hat das Maß 90, nach Winkelkonstruktionsaxiom.<br /> | ||
(4) Die Gerade <math>PM</math> ist Mittelsenkrechte der Strecke <math> \overline{AB}</math>.<br /> | (4) Die Gerade <math>PM</math> ist Mittelsenkrechte der Strecke <math> \overline{AB}</math>.<br /> | ||
Version vom 1. Juli 2010, 22:55 Uhr
Beweis Versuch 1:
Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten:
Jede Stecke hat in jeder Ebenen, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.
Als Voraussetzung ist die Strecke 
, die Ebene E zu benennen.
Nun ist zu zeigen, dass es in 
eine Gerade 
gibt, die die Mittelsenkrechte zur Strecke ist. Und, dass es nicht mehr als diese eine gibt.
(1) Es gibt ein Punkt 
, der zur Ebene E gehört, aber nicht zur Geraden 
.
(2) Es existiert genau ein Mittelpunkt 
auf der Strecke , nach Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt.
(3) Es existiert ein Punkt 
in der Halbebenen 
und somit ein genau ein Strahl 
. Der Winkel 
hat das Maß 90, nach Winkelkonstruktionsaxiom.
(4) Die Gerade 
ist Mittelsenkrechte der Strecke .
Die Existenz und die Eindeutigkeit (wegen Winkelkonstruktionsaxiom) ist gezeigt.
qed --Löwenzahn 17:30, 1. Jul. 2010 (UTC)
