Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe 20)

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Beweisen Sie Satz IX.4: Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.

Voraussetzung: Punktspiegelung einer Geraden g

Behauptung: g parallel zu g

Zusatz: a und b sind die Spiegelgeraden der Punktspiegelung mit: a \cap b = S und a \cap g = P und b \cap g = E


Beweisschritt Begründung
1) S_a\circ S_b(g)=g'' Geradentreue der Geradenspiegelung, Def. Punktspiegelung
2) S_a\circ S_b(P)=P'' \wedge S_a\circ S_b(E)=E'' Def. Punktspiegelung, S ist Fixpunkt
3)  |< PSE| = |< P''SE''|=|< ab| Winkelmaßerhaltung der Geradenspiegelung, 2), Zusatz
4)  | PS | = | P''S | \wedge  | ES | = | E''S | Eigenschaft Punktspiegelung, 2)
5) g'' \cap a=P'' \wedge g'' \cap b=E'' 1), 2), 3), Eigenschaft Geradenspiegelung, Zusatz
6) g|| g'' 3), 4), 5)

--tgksope (Diskussion) 10:58, 25. Jul. 2020 (CEST)


Der Beweis geht kürzer: 
Voraussetzung: Punktspiegelung S_a\circ S_b mit  a \cap b = \lbrace S \rbrace und a \perp b  
Behauptung: g || g
Beweisschritt Begründung
1) Drehen a und b mit festen S und festen Drehwinkel so, dass a II b Punktspiegelung
2) S_a(g)=g' , g' || g Parallelentreue, 1), Vor., Def. Geradenspiegelung
3)  S_b(g')=g'' = g' Def. Fixgerade, Vor.
4) g || g'' 2), 3), Transitivität der Parallelenrelation
--Tutorin Laura (Diskussion) 11:06, 27. Jul. 2020 (CEST)