Lösung von Aufgabe 11.5P (WS 18 19)

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  1. Gegeben sei ein Winkel \angle ABC und ein Punkt P im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels \angle ABC liegt. Konstruieren Sie eine Strecke \overline{DE} deren Endpunkte D und E jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels \angle ABC liegen und P Mittelpunkt der Strecke \overline{DE} ist.
  2. Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.



Aufgabe 11.5 WiSe 18 19.png
Punkspiegelung der Halbgeraden des Winkels um P, konstruiert durch je einen Kreis mit Radius |P(jeweiliger Punkt)|, die Bildpunkte A',B',C' können dann durch die Schnittpunkte dieser Kreise mit den Geraden (jeweiliger Punkt)P konstruiert werden. Die Schnittpunkte von Winkel und Abbildung des Winkels sind die Punkte D und E, wobie D der Bildpunkt von E ist und somit gilt, dass ED eine Gerade durch P ist und |EP|= |PD|.

Beweis: (Im Beweis ist der Scheitelpunkt C)
Vor: D(P,180)(\angle{ACB}) = \angle{A'C'B'} und \angle{ACB} geschnitten \angle{A'C'B'} = {D;E}
Beh: P ε \overline{DE} und |DP| = |PE|

1.) D(P,180) = Sp \circ Sq - Vor; Def. Drehung
2.) p sei so gewählt, dass gilt: p steht senkrecht auf AC => Sp(AC) = AC - Relative Lage der Spiegelachsen bei Drehungen, AC ist Fixgerade für die Spiegelung an p
3.) q || AC => Sq(AC) = A'C' mit q || A'C' - 2.) Transitivität der Parallelität, Spiegelung einer Geraden an einer Parallelen erzeugt eine Parallele
4.) C'A' geschnitten CB = D - 3.) 5.) D(P,180) (D) = E - 2.)
6.) P ε \overline{DE} und |DP| = |PE| - 5.)
Die Behauptung ist bewiesen. --CIG UA (Diskussion) 22:15, 11. Jan. 2019 (CET)