Lösung von Aufgabe 12.10

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Beweis des Stufenwinkelsatzes:

Es seien a und b zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent.


Lösung 1

VSS: Gerade  a,b,c ,  a \| b ,  c schneidet  a und  b
Beh:  \alpha ,  \beta sind Stufenwinkel, oBdA:  \alpha \cong \beta
ANN: | \beta | > | \alpha |

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) das Maß | \alpha | im Scheitelpunkt S von  \beta in der gleichen Halbebene bzgl  \alpha  abtragen, es entsteht der Strahl {SP^{+}} mit dem Winkelmaß |{\alpha^{'}}| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)
(II)  \alpha \cong  {\alpha^{'}} (I), (Def. Stufenwinkel)
(III)  a \| SP (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (I), (II)
(IV)  a \| SP und  a \| b mit  S \in SP und  S \in b (VSS), (III)

--> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...)
--> ANN falsch, Beh. wahr
--Löwenzahn 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC)