Lösung von Aufgabe 13.2

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Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)
Es sei \overline{ABC} ein Dreieck mit den Innenwinkeln \alpha = \angle CBA, \beta = \angle CBA und \gamma = \angle ACB.
Es gilt \left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180.


Versuch 1

VSS: Dreieck \overline{ABC}, mit Innenwinkel \alpha = \angle CBA, \beta = \angle CBA und \gamma = \angle ACB
Beh: \left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I)  \exist d: C \in d, D\|AB (Euklidisches Parallelenaxiom)
(II)  \beta und  \beta^{'} sind Stufenwinkel (I), (Def. Stufenwinkel)
(III)  \alpha und  \alpha^{'} sind Stufenwinkel (I), (Def. Stufenwinkel)
(IV)  \gamma und  \gamma^{'} sind Scheitelwinkel (I), (Def. Scheitelwinkel)
(V)  \alpha \cong \alpha^{'} ,  \beta \cong \beta^{'} (I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)
(VI)  \gamma \cong \gamma^{'} (I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)
(VII)  |\alpha^{'}| + |\beta^{'}| + |\gamma^{'}| = 180 (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
(VIII)  |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 (VII), (V), (VI)

-> Beh. wahr qed
--Löwenzahn 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)