Lösung von Aufgabe 13.2P (WS 16/17): Unterschied zwischen den Versionen

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===Lösung von AlanTu===
 
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1. <math>\varphi_1</math> ist eine Translation, <math>\varphi_2</math> eine Drehung
 
1. <math>\varphi_1</math> ist eine Translation, <math>\varphi_2</math> eine Drehung
  
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2. Die roten Geraden <math>s_1: x=3</math> und <math>s_2: x=5</math> bilden <math>\varphi_1</math>, die grünen Geraden (Die Spiegelachsen sind zur besseren Anschauung mit der Maus verschiebbar)<math>s_3: y=x</math> und <math>s_4: y=3</math> bilden <math>\varphi_2</math><ggb_applet style="display:inline-block" width="844" height="538"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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3. Da <math>\varphi_1</math> eine Translation ist, kann man die beiden Spiegelachsen <math>s_1</math> und <math>s_2</math> um 2 nach links verschieben, ohne die Abbildung zu verändern. Und da <math>\varphi_2</math> eine Drehung ist, können die beiden Spiegelachsen <math>s_3</math> und <math>s_4</math> um 45° gegen den Uhrzeigersinn (im „mathematischen Uhrzeigersinn“) gedreht werden ohne die Abbildung zu verändern. Da dann <math>s_2</math> und <math>s_3</math> deckungsgleich sind und die Spiegelungen an den beiden Achsen direkt nacheinander ausgeführt werden, heben sich die beiden Spiegelungen auf.
 
3. Da <math>\varphi_1</math> eine Translation ist, kann man die beiden Spiegelachsen <math>s_1</math> und <math>s_2</math> um 2 nach links verschieben, ohne die Abbildung zu verändern. Und da <math>\varphi_2</math> eine Drehung ist, können die beiden Spiegelachsen <math>s_3</math> und <math>s_4</math> um 45° gegen den Uhrzeigersinn (im „mathematischen Uhrzeigersinn“) gedreht werden ohne die Abbildung zu verändern. Da dann <math>s_2</math> und <math>s_3</math> deckungsgleich sind und die Spiegelungen an den beiden Achsen direkt nacheinander ausgeführt werden, heben sich die beiden Spiegelungen auf.
  

Version vom 25. Januar 2017, 01:31 Uhr

Dargestellt ist hier die Nacheinanderausführung zweier Abbildungen \varphi_1 und \varphi_2, mit \varphi_1\left( \overline{ABC} \right) = \overline{A'B'C'} und \varphi_2\left( \overline{A'B'C'} \right) = \overline{A''B''C''}.
Hinweis: Der Punkt E hat eine besondere Bedeutung für \varphi_2.
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  1. Um welche Arten von Abbildungen handelt es sich bei \varphi_1 und \varphi_2?
  2. Zeichnen Sie jeweils für \varphi_1 und \varphi_2 die passende Anzahl von Spiegelachsen in die Skizze ein.
  3. Wir betrachten nun die Verkettung \varphi_1\circ \varphi_2 . Durch welche Ersatzabbildung kann diese Verkettung \varphi_1\circ \varphi_2 ersetzt werden? (Begründen Sie Ihre Entscheidung).
  4. Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.


Lösung von AlanTu

Hinweis: Diese Lösung enthält zwei Geogebra-Applets, falls diese nicht angezeigt werden, muss der Servercache geleert werden.

1. \varphi_1 ist eine Translation, \varphi_2 eine Drehung

2. Die roten Geraden s_1: x=3 und s_2: x=5 bilden \varphi_1, die grünen Geraden s_3: y=x und s_4: y=3 bilden \varphi_2 (Die Spiegelachsen sind zur besseren Anschauung mit der Maus verschiebbar)

3. Da \varphi_1 eine Translation ist, kann man die beiden Spiegelachsen s_1 und s_2 um 2 nach links verschieben, ohne die Abbildung zu verändern. Und da \varphi_2 eine Drehung ist, können die beiden Spiegelachsen s_3 und s_4 um 45° gegen den Uhrzeigersinn (im „mathematischen Uhrzeigersinn“) gedreht werden ohne die Abbildung zu verändern. Da dann s_2 und s_3 deckungsgleich sind und die Spiegelungen an den beiden Achsen direkt nacheinander ausgeführt werden, heben sich die beiden Spiegelungen auf.

4. Somit kann man die Geraden s_1': x=1 und s_4': y=x als Spiegelachsen für die Ersatzabbildung heranziehen. Das entspricht einer Drehung um 90° entgegen dem mathematischen Drehsinn um den Schnittpunkt der beiden Spiegelachsen F(1,1)

--AlanTu (Diskussion) 00:29, 25. Jan. 2017 (CET)
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