Lösung von Aufgabe 13.5: Unterschied zwischen den Versionen
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(Die Seite wurde neu angelegt: Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> ...) |
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+ | '''2. Rückrichtung:''' "Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels <math> \alpha </math> gehört, dann hat er zu den Schenkeln von <math> \alpha </math> jeweils denselben Abstand."<br /> | ||
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+ | VSS: <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math> \alpha </math> <math> \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq </math> | ||
+ | <br /> | ||
+ | Beh: <math>\overline{PB} \cong \overline{PA} </math><br /> | ||
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+ | {| class="wikitable " | ||
+ | |+ Beweis | ||
+ | ! Nr. | ||
+ | ! Beweisschritt | ||
+ | ! Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(I) | ||
+ | | <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math> \alpha </math> | ||
+ | | (VSS) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(II) | ||
+ | | <math> A </math> sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl <math> p </math> und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl <math> q </math> | ||
+ | | (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ||
+ | | es existiert ein Punkt <math> C\in gQ^{+}: | \angle PB^{+},PC^{+}| = 90 </math> | ||
+ | | Winkelkonstruktionsaxiom, (I), (II) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(IV) | ||
+ | | es exisitiert genau eine Gerade <math> s </math> durch <math> C </math> und <math> P </math>, senkrecht auf <math> g </math> | ||
+ | | Axiom I.1, (II) | ||
+ | |} |
Version vom 17. Juli 2010, 12:19 Uhr
Man beweise: Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels , wenn er zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand hat.
Versuch 1
Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden.
1. Hinrichtung: "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels ."
VSS: ,
Beh: Winkelhalbierende von
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl | (Existenz und Eindeutigkeit Lot) |
(II) | (VSS) | |
(III) | (trivial) | |
(IV) | (Definition Lot) | |
(V) | ist größter Winkel im Dreieck | (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
(VI) | ist größter Winkel im Dreieck | (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
(VII) | liegt der Seite gegenüber liegt der Seite gegenüber |
(Satz: größter Winkel liegt längsten Seite gegenüber),(V), (VI) |
(VIII) | (SSW), (VII), (IV), (III), (II) | |
(IX) | (VIII), (Def. Dreieckskongruenz) | |
(X) | (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom) | |
(XI) | Winkelhalbierenden von --> Winkelhalbierende von | (X) |
--> Beh. wahr qed
--
2. Rückrichtung: "Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels gehört, dann hat er zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand."
VSS: Winkelhalbierende von
Beh:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Winkelhalbierende von | (VSS) |
(II) | sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl | (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) |
(III) | es existiert ein Punkt | Winkelkonstruktionsaxiom, (I), (II) |
(IV) | es exisitiert genau eine Gerade durch und , senkrecht auf | Axiom I.1, (II) |