Lösung von Aufgabe 13.5

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Man beweise: Ein Punkt \ P gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels \ \alpha, wenn er zu den Schenkeln von \ \alpha jeweils denselben Abstand hat.


Versuch 1

Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden.

1. Hinrichtung: "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von  \alpha jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels  \alpha ."

VSS: \overline{PB} \cong \overline{PA} ,  \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq
Beh:  P \in Winkelhalbierende von  \alpha

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I)  A sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl  p und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl  q (Existenz und Eindeutigkeit Lot)
(II) \overline{PB} \cong \overline{PA} (VSS)
(III) \overline{SP} \cong \overline{SP} (trivial)
(IV) |\angle SBP| = |\angle SAP| = 90 (Definition Lot)
(V) \angle SAP ist größter Winkel im Dreieck \overline{SAP} (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV)
(VI) \angle SBP ist größter Winkel im Dreieck \overline{SBP} (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV)
(VII) \angle SBP liegt der Seite \overline{SP} gegenüber
\angle SAP liegt der Seite \overline{SP} gegenüber
(Satz: größter Winkel liegt längsten Seite gegenüber),(V), (VI)
(VIII) \overline{SBP} \cong \overline{SAP} (SSW), (VII), (IV), (III), (II)
(IX) \angle ASP \cong \angle BSP (VIII), (Def. Dreieckskongruenz)
(X) | \angle ASP| + \angle BSP|= \angle ASB|  (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom)
(XI)  {SP^{+}} \cong Winkelhalbierenden von  \alpha -->  P \in Winkelhalbierende von  \alpha (X)

--> Beh. wahr qed


2. Rückrichtung: "Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels  \alpha gehört, dann hat er zu den Schenkeln von  \alpha jeweils denselben Abstand."

VSS:  P \in Winkelhalbierende von  \alpha  \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq
Beh: \overline{PB} \cong \overline{PA}

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I)  P \in Winkelhalbierende von  \alpha (VSS)
(II)  A sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl  p und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl  q (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
(III) |\angle SBP| = |\angle SAP| = 90 (II), (Def. Lot)
(IV) |\angle ASP| = |\angle BSP| (Def. Winkelhalbierende)
(V)  | \angle ASP| + | \angle SPA|  +  | \angle SAP| = 180  (Innenwinkelsumme im Dreieck)
(VI)  | \angle BSP| + | \angle SPB|  +  | \angle SBP| = 180  (Innenwinkelsumme im Dreieck)
(VII)  | \angle ASP| + | \angle SPA|  +  | \angle SAP| = | \angle BSP| + | \angle SPB|  +  | \angle SBP| (V), (VI), (rechnen mit reellen Zahlen)
(VIII)  | \angle SPA|  +  | \angle SAP| = | \angle SPB|  +  | \angle SBP| (VII), (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
(IX)  | \angle SPA|  =   | \angle SPB|  (IX), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
(X) \overline{SP} \cong \overline{SP} (trivial)
(XI) \overline{SBP} \cong \overline{SAP} (WSW), (X), (IX), (IV)
(XII) \overline{PA} \cong \overline{PB} (XI), (Def. Dreieckskongruenz)

-->Beh wahr. qed
Somit ist die Äquivalenz gezeigt --Löwenzahn 11:35, 17. Jul. 2010 (UTC)