Lösung von Aufgabe 13.6

Aufgabenstellung:

Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen. Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.

Skizze:

Anstatt einer Faltung kann man in diesem Applet die Punkte $\ B'$ (auf $\ D$) und $\ C'$ (auf $\ A$) bewegen. Man stelle sich die Faltung über die (gestrichelte) Winkelhalbierende jeweils analog vor.

Beweis:

Voraussetzung:

• Parallelogramm $\overline{ABCD}$
• Ein Parallelogramm sei ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten
• Die parallelen Seiten sind gleich groß (Das kann bewiesen werden: Beweis Teil 2)

Behauptung:

• Konstruktion einer Raute aus Parallelogramm
• Eine Raute sei ein Viereck bei dem alle vier Seiten gleich groß sind.
• Die gegenüberliegenden Seiten (die Seiten, die keinen Endpunkt gemeinsam haben) sind parallel zueinander (Auch das kann beweisen werden: Beweis Teil 3)

Formloser Beweis:
Wenn Frau Schultze-Kröttendörfer eine Seite, die kürzer ist als ihre Nachbarseite (eine Seite mit gemeinsamen Endpunkt) auf die (längere) Nachbarseite faltet (die Winkelhalbierende des Winkels am gemeinsamen Punkt sei die Faltlinie), so erhält man (wenn diese Faltung mit der selben kurzen Seite zweimal stattfindet) zwei Punkte auf den langen Seiten. Diese Punkte verbindet man und erhält eine "neue" kurze Seite, die wiederum parallel zur ersten kurzen Seite ist. --Kleine Anmerkung: was ist, wenn es keine längeren / kürzeren Seiten gibt also selbst nicht parallele Seiten gleich lang sind? .... --