Lösung von Aufgabe 3.2 S (SoSe 12)

Verirrte Lösung zu Zusatzaufgabe 3.2

Gauglera hatte hier eine Lösung zur Zusatzaufgabe 3.2 abgelegt. Ich hab diese Lösung mal in die richtige Datei kopiert: Lösung_von_Zusatzaufgabe_3.2_S_(SoSe_12)

Aufgabe 3.2

a)Ergänzen Sie so, dass sowohl die Hin- als auch die Rückrichtung wahr sind:

Wenn ein Viereck ein/e ... ist, halbieren sich seine Diagonalen.
Wenn sich die Diagonalen eines Vierecks halbieren, so ist es ein/e ....

b)Formulieren sie eine Äquivalenz.
c)Definieren Sie die Vierecksart durch das gefundene Kriterium.

Lösungsvorschlag 1:

a) Wenn ein Viereck $\overline{ABCD}$ ein Parallelogramm ist, halbieren sich seine Diagonalen.
Wenn sich die Diagonalen eines Vierecks $\overline{ABCD}$ halbieren, so ist es ein Parallelogramm.

b) Genau dann wenn sich die Diagonalen eines Vierecks $\overline{ABCD}$ halbieren, ist es ein Parallelogramm.

c) Ein Viereck $\overline{ABCD}$, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren, ist ein Parallelogramm. --Goliath 15:38, 3. Mai 2012 (CEST) <be/>

Coole Sache. Wenn man sagt Parallelogramm, dann schließt das ja nicht aus, dass es auch ein Quadrat oder eine Raute oder so ist.--RitterSport 20:46, 6. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 2:

a)

A: Viereck Parallelogramm

B: Diagonalen halbieren sich

Viereck Parallelogramm $\Rightarrow$ Diagonalen halbieren sich also A $\Rightarrow$ B

Diagonalen halbieren sich $\Rightarrow$ Viereck Parallelogramm also B $\Rightarrow$ A

b) A $\Leftrightarrow$ B

c) Wie ist die Kurzschreibweise hierfür? --Hauleri 13:26, 6. Mai 2012 (CEST)
Ich weiß es nicht genau. Ich denke man muss schreiben: "Sich halbierende Diagonalen sind ein Kriterium für ein Parallelogramm"--RitterSport 20:49, 6. Mai 2012 (CEST)

Bemerkung von M.G. zu c

Begriffe definiert man über die Eigenschaften ihrer Repräsentanten. So hat z.B. jedes spezielle Quadrat die Eigenschaft, 4 Symmetrieachsen zu besitzen. Da diese Eigenschaft notwendig und hinreichend dafür ist, dass ein Viereck ein Quadrat ist, könnte man die Eigenschaft vier Symmetrieachsen zu haben auch als definierende Eigenschaft verwenden.

Definition

---

Quadrat
Ein Viereck mit vier Symmetrieachsen heißt Quadrat.

Wie sieht es nun mit der Eigenschaft von Vierecken aus, einander halbierende Diagonalen zu haben? Ist das eine notwendige und hinreichende Bedingung, dass unser Viereck ein Parallelogramm ist? Oder anders ist die Menge der Vierecke mit einander halbierenden Diagonalen identisch zur Menge der Parallelogramme nach üblicher Definition über die Parallelität von Seiten? Also gesucht ist eine mögliche andere Definition des Begriffs Parallelogramm.--*m.g.* 13:02, 7. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 3 von Mahe84

Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang. Wenn die gegenüberliegenden Seiten in einem Viereck parallel und gleich lang sind, so ist es ein Parallelogramm. --Mahe84 12:11, 8. Mai 2012 (CEST)

Kommentar M.G. zu Lösungsvorschlag 3

@Mahe84 Man kann natürlich den Begriff Parallelogramm über die Parallelität der Seiten definieren. Wird man in der Schule auch tun, denn schließlich wird man damit der Semantik der Begriffsbezeichnung gerecht. In unserer Aufgabe versuchen wir jedoch zu einer anderen Definition für den Begriff des Parallelogramms zu kommen. Das Halbieren der Diagonalen könnte hilfreich dabei sein.

Sie haben richtig erkannt, dass definierende Eigenschaften Kriterien sein müssen. Klar, sonst könnte man ja nicht den Begriff eindeutig festlegen. Mit eine "Definition" wie ein Quadrat ist ein Viereck mit der parallelen Seiten erwischt man natürlich die Quadrate aber nicht nur die.

Definitionen könnte und kann man natürlich in Genau-Dann-Wenn Form schreiben. Muss man aber nicht, da bei einer Definition immer klar ist, dass die definierende Eigenschaft ein Kriterium ist. Zwei Implikationen (Implikation und ihre Umkehrung) gehen aber nicht als Definition durch. Sie könnten eher schreiben Ein Viereck heißt genau dann Parallelogramm, wenn seine gegenüberliegenden Seiten parallel sind. (Ich glaub das reicht oder? Oder könnte es ein Viereck geben, in dem zwar die gegenüberliegenden seiten parallel aber nicht gleichlang sind?) Der Mathematiker schreibt das dann mitunter auch so:

Definition

---

Parallelogramm
Ein Viereck heißt Parallelogramm$:\Longleftrightarrow$ Die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks sind parallel.

Üblich ist auch:

Definition

---

Parallelogramm
Ein Viereck heißt Parallelogramm$:=$ Die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks sind parallel.

Die Zeichen $:\Longleftrightarrow$ bzw. $:=$ werden als "nach Definition" gelesen.--*m.g.* 22:47, 8. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 4:

a. => Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, halbieren sich seine Diagonale.
a. <= Wenn sich die Diagonalen eines Viereckes halbieren, so ist es ein Parallelogramm.

b. <=> Genau dann wenn sich bei einem Viereck die Diagonalen halbieren, ist dies ein Parallelogramm

c. Ein Viereck, bei welchem sich die Diagonalen jeweils halbieren, nennt man Parallelogram.--Kopernikus 20:48, 9. Mai 2012 (CEST)

Problem?

Ja gut, es könnte aber auch ein Rechteck oder ein Quadrat sein. Ich glaube hier muss man nicht über ein Viereck sondern über einen anderen Oberbegriff definieren.--Oz44oz 23:58, 9. Mai 2012 (CEST)
ist doch super - rechtecke und quadrate sind parallelogramme--Studentin 21:03, 13. Mai 2012 (CEST) @Studentin absolut korrekt--*m.g.* 13:07, 14. Mai 2012 (CEST)

Frage von LuLu7410: halbieren sich die Diagonalen im Parallelogramm wirklich?

Halbieren sich die Diagonalem im Parallelogramm wirklich??? --LuLu7410 09:16, 10. Mai 2012 (CEST)

Hinweise M.G.

Wir gehen davon aus, dass Parallelogramm als Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten definiert wurde. Wir behaupten jetzt, dass in derartigen Vierecken sich die Diagonalen halbieren. Wir zeigen zunächst, dass die gegenüberliegenden Seiten im Parallelogramm kongruent zueinander sind. Beweisidee: Eine Diagonale betrachten. Es entstehen zwei Teildreiecke. Diese sind unter Berücksichtigung des Wechselwinkelsatzes kongruent zueinander. Demzufolge sind die gegenüberliegenden Seiten zueinander kongruent. Jetzt können wir zeigen, dass sich die Diagonalen halbieren. Es sei $\overline{ABCD}$ ein Parallelogramm. Mit $M$ sei der Schnittpunkt der Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ bezeichnet. Mittels elementarer Winkelbeziehungen und der Eigenschaft, dass die gegenüberliegenden seiten kongruent zueinander sind, können wir jetzt die Kongruenzen zeigen: $\overline{AMD} \tilde= \overline{BMC}$ und $\overline{AMB} \tilde= \overline{DMC}$. Hieraus folgt unmittelbar, dass die Diagonalen einander halbieren. Umgekehrt können wir zeigen, dass jedes Viereck in dem sich die Diagonalen halbieren ein Parallelogramm ist.

Die Eigenschaft der halbierenden Diagonalen ist damit notwendig und hinreichend dafür, dass ein Viereck ein Parallelogramm ist und kann als definierende Eigenschaft verwendet werden. --*m.g.* 10:40, 10. Mai 2012 (CEST)