Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

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Aufgabe 3.5

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: \ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c .
b) Welche Eigenschaft der Relation \|| auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?


Lösungsvorschlag 1

a)
Voraussetzung: a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden

Behauptung: \ a \|| c

Annahme:  \exists P:P\in a \wedge P\in c

Beweis:
(1) \ a \|| b Voraussetzung
(2) \ b \|| c Voraussetzung
(3) \ P\in a Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit a)
(4) \ P\in c Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit c)
(5) \ P\in a \wedge P\in c (3),(4) da Punkt P sowohl auf a, als auch auf c liegt ist das ein Widerspruch zur Voraussetzung. --Goliath 17:03, 3. Mai 2012 (CEST)