Lösung von Aufgabe 4: Unterschied zwischen den Versionen
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# Gilt auch die Umkehrung von Satz I? | # Gilt auch die Umkehrung von Satz I? | ||
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Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte. <br /><br />Wenn <math>\ A</math>,<math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind , dann sind je zwei der Punkte <math>\ A</math>,<math>\ B</math> und <math>\ C</math> nicht identisch.<br /> | Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte. <br /><br />Wenn <math>\ A</math>,<math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind , dann sind je zwei der Punkte <math>\ A</math>,<math>\ B</math> und <math>\ C</math> nicht identisch.<br /> | ||
Andere Formulierung: <math>\operatorname{nKoll} \left( A, B, C \right) \Rightarrow A \not\equiv B \not\equiv C \not\equiv A</math> | Andere Formulierung: <math>\operatorname{nKoll} \left( A, B, C \right) \Rightarrow A \not\equiv B \not\equiv C \not\equiv A</math> | ||
| − | + | == Teilaufgabe 2: Indirekter Beweis der Implikation == | |
| − | + | === Beweisprinzip === | |
Wir nehmen an, dass bei wahrer Voraussetzung die Behauptung nicht gilt. Anders ausgedrückt: Wir negieren die Behauptung, bleiben aber dabei, dass die Vorsaussetzung wahr ist. | Wir nehmen an, dass bei wahrer Voraussetzung die Behauptung nicht gilt. Anders ausgedrückt: Wir negieren die Behauptung, bleiben aber dabei, dass die Vorsaussetzung wahr ist. | ||
| − | + | === Behauptung === | |
| − | + | === Negation der Behauptung === | |
==vorangegangene Diskussionen bzw. Lösungsvorschläge == | ==vorangegangene Diskussionen bzw. Lösungsvorschläge == | ||
Version vom 14. Juni 2010, 10:49 Uhr
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.
- Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien
, 
und 
drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn , und … , dann … .“
- Beweisen Sie Satz I indirekt.
- Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
- Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
- Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
- Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
Inhaltsverzeichnis |
Lösung:
Teilaufgabe 1
Es seien 
, 
und 
drei Punkte.
Wenn , und kollinear sind , dann sind je zwei der Punkte , und nicht identisch.
Andere Formulierung: 
Teilaufgabe 2: Indirekter Beweis der Implikation
Beweisprinzip
Wir nehmen an, dass bei wahrer Voraussetzung die Behauptung nicht gilt. Anders ausgedrückt: Wir negieren die Behauptung, bleiben aber dabei, dass die Vorsaussetzung wahr ist.
Behauptung
Negation der Behauptung
vorangegangene Diskussionen bzw. Lösungsvorschläge
1. Es seien , und drei Punkte. Wenn , und nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden.
2. Voraussetzung: Es seien , und drei Punkte mit nkoll(, , ).
Annahme: identisch o.B.d.A.
| Schritt | Begründung |
| 1) Durch die Punkte und geht genau eine Gerade g. 2) identisch => Element g 3) Element g => koll(, ,) 4) Widerspruch zur Voraussetzung |
1) Axiom I/1 2) Identität 3) Definition: (kollinear) |
3. Sind drei Punkte nicht paarweise verschieden, so sind sie kollinear.
5. Sind drei Punkte paarweise verschieden, so sind sie nicht kollinear.
6. Nein.
4. Voraussetzung: , und sind nicht paarweise verschieden.
Annahme: nkoll (, , )
I. durch die Punkte und geht genau eine Gerade g. ->Axiom I/1
II. ist kein Element von g -> Annahme
III. nicht identisch und nicht identisch -> I. und II.
IV. Widerspruch zur Voraussetzung
