Lösung von Aufgabe 6.4: Unterschied zwischen den Versionen
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Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. | Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. | ||
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| + | Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C. | ||
| + | Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E | ||
| + | Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden.<br /> | ||
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Version vom 5. Juni 2010, 13:40 Uhr
Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.
Inhaltsverzeichnis |
Eins
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden.
| Beweisschritt | Begründung |
| (1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B B nicht identisch C |
1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7 |
=> A, B, C sind paarweise verschieden
Kommt uns ein wenig zu kurz vor. von Maude001 und Nicola
Zwo
Behauptung:
Wenn eine Ebene 
existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung:
Es existiert eine Ebene mit A, B, C 
Annahme:
A, B, C sind paarweise verschieden.
Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.
Fall 1:
koll(A, B, C) <-> A, B, C Gerade g
Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C und (nach Fallunterscheidung) A, B, C g. Dann greift Axiom I/5
Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
...hier sind es sogar alle drei Punkte.
Fall 2:
Je zwei Punkte sind kollinear.
o.B.d.A koll(A, B) -> A, B Gerade g 
C 
Gerade g
nkoll(A, B, C)
Nun besagt Axiom I/4
Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.
Reicht das als Begründung für Satz I.7 ?
Zusatz:
Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)
Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
